Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform umwandeln

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MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform umwandeln
Meine Frage:
Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie ich von der Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform komme?

Vielleicht mit diesem Beispiel:

E: OX = (1|-2|3) + r*(3|1|2) + s*(2|1|4)

Danke!

Meine Ideen:
Ich habe schon zigtausend Erklärungen im Internet und in Büchern gelesen, und immer nur die Hälfte verstanden! Brauche eine Erklärung für Mathedummies ^^ smile
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform umwandeln
-
Kennst du das "Kreuzprodukt" (vertorielles Produkt)?

damit könntest du mit deinen beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor n zu E berechnen.

mit diesem n=(a|b|c) hast du dann die drei Vorzahlen der Ebenengleichung

ax+by+cz +d = 0

d bekommst du dann noch, wenn du den gegebenen Punkt der Ebene einsetzt ..

ok?
MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß leider nicht was das Kreusprodukt ist... meinst du das Skalarprodukt?
Also: (x1*x2)+(y1*y2)+(z1*z2) ?

Könntest du mir ansonsten erklären, was das Kreuzprodukt ist?

und ich habe nicht ganz verstanden, wie ich auf d komme.
original Auf diesen Beitrag antworten »

-
nein, ich meine nicht das Skalarprodukt
das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum ist wieder ein Vektor
wenn du willst, kannst du zB hier nachlesen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzproduk...eise_Berechnung



"und ich habe nicht ganz verstanden, wie ich auf d komme. "
wenn du von irgendeiner Ebenengleichung die drei Vorzahlen von x,y,z kennst,
dann kannst du die Konstante d finden, wenn du einen bekannten Punkt der
Ebene (der ja die Gleichung erfüllen muss) einsetzt.

Beispiel: wenn du von irgendeiner Ebene schon weisst, dass die Gleichung so aussieht:
2x-8y+z+d=0 und zB der Punkt (1|-2|3) würde in E liegen, dann müsste
2+16+3+d=0 gelten .. und du hättest das d
klar?
MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also kann ich den Stützvektor der Ebene als Punkt wählen, der auf der Ebene liegen muss. Oder muss das ein anderer Punkt sein, und wenn ja, wie finde ich heraus, welcher Punkt auf der Ebene liegt und welchen ich demnach verwenden kann?

Diesen Punkt setzte ich also in die Koordinatengleichung ein, in der schon die Koordinaten des Normalenvektors sind (die ich vorher durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Parameterdarstellung herausgefunden habe) und löse dann nach d auf. Richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst natürlich diesen (gegebenen) Stützpunkt verwenden!
Wenn dir die Methode des Kreuzproduktes noch nicht bekannt ist, gibt es auch einen alternativen Weg:

Schreibe die Parametergleichung zeilenweise an und eliminiere aus den entstandenen 3 Gleichungen einfach die beiden Parameter.
Übrig bleibt die Gleichung der Ebene in Koordinatenform.

Also so:

x1 = 1 + 3r + 2s
x2 = -2 + r + s
x3= ...

Hier geht das Eliminieren recht flott.

mY+
 
 
MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das Kreuzprodukt jetzt angeschaut und finde den Weg damit ganz einfach. Wenn ich die Formel auswendig lerne ist das bestimmt ganz einfach anzuwenden.

Also ermittle ich aus dem Kreuzprodukt die Variablem a,b und c aus der Koordinatengleichung a*x1+b*x2+c*x2+d=0 und setzte diese dort ein.
Anschließend setzte ich für die x-Koordinaten den Stützvektor der Parameterdarstellung ein (oder die Koordinaten eines anderen Punktes, der auf der Ebene liegt) und löse nach d auf und erhalte dann die Koordinatenform der Ebene: a*x1+b*x2+c*x3=d

Habe ich das so richtig verstanden?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sehr schön, so macht man das.
Zur Kontrolle:



mY+
MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe wenn ich die Koordinaten des Kreuzproduktes und die des Stützvektors eingebe das heraus:

2*1 - 8*(-2) + 1*3 + d = 0
also: 21 + d = 0
dann würde doch d = (-21) gelten und somit die Koordinatengleichung

2*x1 - 8*x2 + x3 = (-21) lauten.

Oder habe ich da etwas übersehen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt doch ohnehin!
Wenn du das d links stehen lässt, ist d = -21.
Wenn es links negativ ist und dann nach rechts kommt, wird es eben zu +21, Bingo!
Oder?

mY+
MaiKind Auf diesen Beitrag antworten »

Okay smile

Danke Freude
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