Wohlordnungsaxiom der Natürlichen Zahlen durch vollst. Ind. beweisen.

06.11.2011, 14:17

Kallinski

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Wohlordnungsaxiom der Natürlichen Zahlen durch vollst. Ind. beweisen.

Hi Leute,

ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe ohne Erfolge.

Die Aufgabe ist:
" Das Wohlordnungsaxiom der Natürlichen Zahlen besagt, dass jede Teilemge $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein kleinstes Element $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthält, d.h. $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b\in A \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass das Wohlordnungsaxiom aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt.
Hinweis: Verwenden Sie, dass $\begin{eqnarray*} 1\leq a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.
Nehmen Sie an, dass $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ kein kleinstes Element enthält und folgern Sie mir vollständiger Induktion, dass dann $\begin{eqnarray*} n\leq b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in A \end{eqnarray*}$ gilt.

ja soweit die Aufgabe. Leider finde ich keinen Ansatz.

Was ich bereits augeschrieben habe:

n ist kein Element von A, weil A ja kein kleinstes Element besitz.
1 ist ebenfall kein Element von A.

Aber den Induktions-anfang und schritt, leider keine idee verwirrt

verwirrt

06.11.2011, 14:35

pseudo-nym

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Naja du willst doch $\begin{eqnarray*} n \notin A \end{eqnarray*}$ mit Induktion zeigen.

Warum kann $\begin{eqnarray*} 1 \in A \end{eqnarray*}$ nicht gelten?

06.11.2011, 14:47

Kallinski

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Achso, ich muss zeigen, dass n kein Element von A ist? Ich dachte das wäre so eine Grundüberlegung... weiß auch nicht, sitze auch schon seit 7 Uhr morgens und mache die restlichen Aufgabenzettel...

Ähm warum die 1 kein Element von A ist. Das kleinste Element der reelen Zahlen ist a und a ist mind. größer als 1. Wenn die 1 jetzt auch in A wäre, hätte A ja jetzt ein kleinstes Element. So habe ich mir das jedenfalls gedacht.

Andererseits steht ja das b mind. so groß ist wie n. und wenn n ein Element von A ist, hat es ja wiederum ein kleinstes Element, nämlich das n.

Irgendwie versteh ich das net Hammer

Hammer

06.11.2011, 15:11

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Kallinski
Ähm warum die 1 kein Element von A ist. Das kleinste Element der reelen Zahlen ist a und a ist mind. größer als 1. Wenn die 1 jetzt auch in A wäre, hätte A ja jetzt ein kleinstes Element. So habe ich mir das jedenfalls gedacht.

Das ist der Induktionsanfang und der stimmt.

Zitat:

Original von Kallinski
Andererseits steht ja das b mind. so groß ist wie n. und wenn n ein Element von A ist, hat es ja wiederum ein kleinstes Element, nämlich das n.

verwirrt

06.11.2011, 15:28

Kallinski

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Damit meine ich, dass n kein Element von A sein kann, aus den gennanten Gründen. Oder erzaehle ich blödsinn?

Koenntest du mir vlt. einen Ansatz geben?

Ich weiß nicht wie ich den Induktionsschritt machen soll um dann zu zeigen das n kein Element von A ist. unglücklich

unglücklich

06.11.2011, 15:46

pseudo-nym

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Ich verstehe dein Argument aus dem Post von 14:47 hauptsächlicht nicht weil es sprachlich nicht besonders klar ist.

Außerdem kann ich nicht sehen wo du die Induktionsvorraussetzung benutzt hast.

Und damit solltest du auch anfangen: nimm $\begin{eqnarray*} \forall m : m \leq n \rightarrow m \notin A \end{eqnarray*}$ (Induktionsannahme) an und folgere $\begin{eqnarray*} n+1 \notin A \end{eqnarray*}$

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06.11.2011, 15:51

Kallinski

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Vergiss einfach was ich geschrieben habe, ist wohl eh falsch. LOL Hammer

LOL Hammer

Ok ich werde es mal versuchen, auch wenn mir die vollst. Induktion relativ fremd ist. Jedenfalls was das Verständnis angeht.

Bis hierhin schonmal vielen Dank!

06.11.2011, 16:19

Kallinski

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Ich kriege es nicht hin Erstaunt2

Erstaunt2

Ehrlich gesagt, verstehe ich auch garnicht was ich beweisen soll.

Ich soll zeigen, dass n kein Element von A ist.

Aber warum? Was würde das aussagen?

Ich würde mich freuen wenn mir jmd helfen koennte, ich muss den Zettel morgen abgeben und sitze schon das ganze Wochenende dran und dies ist die letzte Aufgabe auf dem Zettel.

Ich will nicht, dass jmd. die Aufgabe für mich einfach löst sondern würd gern verstehen was ich zu tun habe und wie ich es mache unglücklich

unglücklich

06.11.2011, 16:44

DerJoker

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Du sollst mit Induktion zeigen das die Menge der natürlichen Zahlen gleich der Menge aller unteren Schranken von A ist, unter der Vorraussetzung das A kein kleinstes Element besitzt. Wenn du dies gezeigt hast betrachte $\begin{eqnarray*} \mathbb N \cap A \end{eqnarray*}$ . Bedenke das A nach Vorraussetzung nicht die leere Menge ist.

06.11.2011, 18:44

Kallinski

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hi,

also ich sage jetzt n ist die untere Schranke.

Für n=1 ist das ja bewiesen, weil die 1 keine Element von A ist.

Jetzt soll ich zeigen, dass n+1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b? Verstehe nicht wie Hilfe

Hilfe

06.11.2011, 19:26

pseudo-nym

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Der Ansatz bei einem Induktionsbeweis ist immer derselbe.
Du musst die Aussage für n+1 unter Benutzung der Induktionsvorraussetzung zeigen. Was ist Induktionsvorraussetzung hier?

06.11.2011, 19:35

Kallinski

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Ähm, ich weiß nicht genau. Ich habe vor einer Woche das erste mal was von vollständiger Induktion gehört.

ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} n\leq b \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 19:45

pseudo-nym

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Du würdest dir einen Gefallen tun wenn du nicht alles so schlampig aufschreiben würdest.

$\begin{eqnarray*} A(n) = \forall b \in B : n \leq b \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Somit ist $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ die Induktionsvorraussetzung.

06.11.2011, 20:01

Kallinski

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Tut mir leid, wenn Ihr probleme habt mein Geschriebenes zu entziffern, leider kann ich es aber nicht besser unglücklich

unglücklich

.

Das ist jetzt meine erste Woche im Mathematik-Studium und davor war ich auf einer FOS. Es ist halt alles neu für mich.

Was meinst du denn mit $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ meinst du mit B vlt. A?

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : n \leq b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall b \in A \end{eqnarray*}$ ? Ist das so richtig?

Also in Worten: Alle Elemente n aus der Menge der Natürlichen Zahlen sind kleiner als alle Elemente b aus der Menge A?

06.11.2011, 20:11

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Kallinski
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : n \leq b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall b \in A \end{eqnarray*}$ ? Ist das so richtig?

Nein, auch wenn das oft gemacht wird darf man Quantoren nicht hinten anstellen. Die Aussage muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \, \forall b \in A : n \leq b \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 20:42

Kallinski

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achso ok danke. Aber weiter komme ich dennoch nicht... ich weiß den Induktionsanfang. Und war n=1. Dann die Vorraussetzung weiß ich dank dir auch. Und der Induktionsschritt ist nun n+1. Aber was dann? Ich bin wirklich am Ende mit meinem Latein.

Ich versteh einfach nicht, wie ich zeigen soll, dass n+1 $\begin{eqnarray*} \leq b \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 22:03

DerJoker

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Nimm mal an $\begin{eqnarray*} n+1 \leq b \end{eqnarray*}$ würde nicht gelten. Was folgt daraus?

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