Vektorraum-Ja/Nein

06.11.2011, 17:48

liebe_Maus

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Vektorraum-Ja/Nein

Hallo liebe Mathefreunde smile

smile

ich habe den totalen durchhänger bei der folgende Aufgabe:

Auf der Menge $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^{+ } \end{eqnarray*}$ der positiven reellen Zahlen seien zwei Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \oplus :V\times V \to V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \otimes : \mathbb R \times V \to V \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} x\oplus y:=x\cdot y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=x^{\lambda } \end{eqnarray*}$
Ist dann V zusammen mit der Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und der skalaren Multiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum

Wie jeder weiß ist Addition keine Multiplikation, aber wenn wir es umdefinieren und es rein abstrakt betrachten dann wieder schon.
Beweisidee:
(ich lass die Quantoren der Übersichtshalber aus dem Spiel)
(V1): Das assoziativgesetzt gilt.
(V2) Das neutrale Element zu x ist 1
(V3) offentsichlich ist es kommutativ
(V4) Das Inverse ist der Kehrwert zu x
Also ist $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe.

Nun bleibe ich hängen. Wie überprüfe ich ob $\begin{eqnarray*} x^{\lambda } \end{eqnarray*}$ den Vektorraumaxiome gehorcht.
Ansatz:
(V5): $\begin{eqnarray*} x^{\lambda }(x^{\alpha }x)=(x^{\lambda }x^{\alpha })x \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig. Kann mir jemand sagen wie ich mit dem $\begin{eqnarray*} x^{\lambda } \end{eqnarray*}$ vernünftig die Vektoraxiome nachprüfen kann?
lg
liebe_Maus

06.11.2011, 17:51

Klassi

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$\begin{eqnarray*} x^\lambda = \lambda^{-1}x\lambda \end{eqnarray*}$ Konjugation? Oder was soll das bedeuten?

06.11.2011, 17:56

liebe_Maus

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Hi Klassi, danke für deine schnelle Antwort.
Ich kenne nur Konjugation im Zusammenhang der Komplexen Zahlen.
Was hast du hier eigentlich gemacht:
$\begin{eqnarray*} x^\lambda = \lambda^{-1}x\lambda \end{eqnarray*}$
Das ist mir leider nicht so ganz ersichtlich?

lg
liebe_Maus

06.11.2011, 18:05

Klassi

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Hi also in der Gruppentheorie ist $\begin{eqnarray*} x^g \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} g^{-1}xg \end{eqnarray*}$ und dies nennt sich Konjugation. Ist zB G eine Gruppe und x und g Element von G, so ist $\begin{eqnarray*} x^g = g^{-1}xg \end{eqnarray*}$ (bezüglich der in G gegebenen Verknüpfung.

Es muss doch irgendwo in deiner Aufgabe oder in deinem Skript definiert worden sein, was $\begin{eqnarray*} x^\lambda \end{eqnarray*}$ ist. Vllt ist es auch als $\begin{eqnarray*} (-\lambda)x\lambda \end{eqnarray*}$ zu verstehen, wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als additive Gruppe auffasst.

Schau nochmal in dein Skript/die Aufgabenstellung.

Gruß

06.11.2011, 18:09

galoisseinbruder

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@Klassi: Wie wärs wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=x^{\lambda } \end{eqnarray*}$ einfach potenzieren ist, wie in: $\begin{eqnarray*} (2 \otimes 3)= 3^2 =9 \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 18:10

Klassi

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Oh neiiin xD Ich denke zu kompliziert smile

smile

Gute Idee hehe

Gruß

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06.11.2011, 18:14

liebe_Maus

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Leider ist das weder im skript noch in der Aufgabe definiert? Es soll laut der Aufgabenstellung eine skalare Multiplikation sein. Könnte es auch eventuell was anderes heißen?

Edit: Sry, hab beim Nachschauen meines Skript eure Antworten nicht bemerkt

06.11.2011, 18:23

galoisseinbruder

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zur Aufgabe:
Formulier die Vektorraum-Axiome die Du beweisen willst sauber mit $\begin{eqnarray*} \otimes,\oplus \end{eqnarray*}$ und setzt dann erst ein.
Dein Ansatz z.B. ist die Multiplikation dreier Vektoren(Elemente aus dem VR) und das ist nicht definiert.

06.11.2011, 18:29

liebe_Maus

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ok,
was heißt das denn nun konkret für mein $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=x^{\lambda } \end{eqnarray*}$

Die Skalare Multiplikation ist ja folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} {*}\colon K \times V \to V,(x, \lambda) \mapsto x \cdot \lambda \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich muss mein $\begin{eqnarray*} x^{\lambda} \end{eqnarray*}$ irgendwie in so einer ähnlicher Form bringen, damit es sich vernünftig überprüfen lässt.
Das ist der Schritt der mir noch nicht ersichtlich ist.
In wie fern ist nun $\begin{eqnarray*} (2 \otimes 3)= 3^2 =9 \end{eqnarray*}$ hilfreich für das Problem. Tut mir leid ,
aber vielleicht sehe ich vor lauter Bäume den Wald nicht mehr!

06.11.2011, 18:33

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von liebe_Maus
Die Skalare Multiplikation ist ja folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} {*}\colon K \times V \to V,(x, \lambda) \mapsto x \cdot \lambda \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine Schreibweise. Du weißt ja noch nicht was $\begin{eqnarray*} x \cdot \lambda \end{eqnarray*}$ konkret ist.

Das $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ist die Definition der skalaren Multiplikation in diesem Fall.

Das $\begin{eqnarray*} (2 \otimes 3)= 3^2 =9 \end{eqnarray*}$ war an Bsp. um zu verdeutlichen welche Abbildung ich meine.

06.11.2011, 19:12

liebe_Maus

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Ich hab es auch so am Anfang auch ausprobiert, wie du es mir vorgeschlagen hast.
Für die Addition klappt das auch Prima. Da kann man das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ -symbol mit dem $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ersetzen und es passt alles wiederspruchfrei zusammen. Bei der Skalarmultiplikation ist mir das nicht so ganz mit dem $\begin{eqnarray*} x^{\lambda} \end{eqnarray*}$ ersichtlich. Ich wird es hiermal so weit wie möglich nach dem Vektorraum-Axiome aufschreiben:
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \oplus :V\times V \to V, (x, y) \mapsto x \cdot y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \otimes : \mathbb R \times V \to V,(x, \lambda) \mapsto x^{\lambda } \end{eqnarray*}$
Somit folgt:
$\begin{eqnarray*} (V1)(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x,y,z\in V \end{eqnarray*}$
(V2) Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 1\cdot x =x \end{eqnarray*}$
(V3) Für jedes $\begin{eqnarray*} x,y \in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x\cdot y=y\cdot x \end{eqnarray*}$
(V4) Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x^{-1}\in V \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} x\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

Ab (V5) komme ich nicht mehr weiter. Wäre ein möglicher Ansatz folgender:
(V5) Für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda ,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes ( \alpha \otimes x)=(\lambda \otimes \alpha )\otimes x \end{eqnarray*}$
und nach dem Prinzip vervollständiege ich es weiter?
lg
liebe_Maus

06.11.2011, 19:16

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von liebe_Maus

(V5) Für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda ,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes ( \alpha \otimes x)=(\lambda \otimes \alpha )\otimes x \end{eqnarray*}$
und nach dem Prinzip vervollständiege ich es weiter?

Ja. Jetzt einsetzen und schon steht´s da.

06.11.2011, 19:31

liebe_Maus

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oh man, ich kann es gar nicht glauben, das es so einfach sein soll. Unglaublich! Ich wird das gleich vervollständigen, aber davor eine kurze Frage, wir wenden folgende schreibweise an $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^{\lambda } \end{eqnarray*}$ an, weil wir so zu wiedersprüche kommen werden, wie zum Beispiel mit der Multiplikation dreier Vektoren, die ja nicht definiert ist. D.h wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=\sqrt{\lambda } \cdot x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=\lambda \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x:=\lambda \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ oder ähnliches , kann man dan genauso Vorgehen? Also das selbe Prinzip auf der Problematik anwenden?

06.11.2011, 19:38

galoisseinbruder

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Nein. Du könntest das auch mit $\begin{eqnarray*} x^\lambda \end{eqnarray*}$ machen, denn so ist $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x \end{eqnarray*}$ ja definiert. Ich habe das vorgeschlagen in der hoffnung dass die leichte Abstraktion dir hilft die zu zeigende Aussage richtig zu formulieren, was ja gelungen ist.
zum Rest: das $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ist schlicht die Definition der Skalarmultiplikation in diesem Fall.

06.11.2011, 19:46

liebe_Maus

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Nun zu den weiteren Vektoraxiome:
(V6) ) Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 1\otimes x=x^{1} =x \end{eqnarray*}$
(V7) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda ,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (\lambda \oplus \alpha )\otimes x=\lambda \otimes x+ \alpha \otimes x \end{eqnarray*}$
(V8) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes (x\oplus y)=(\lambda \otimes x) \oplus (\lambda \otimes y) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ ein reeller Vektorraum.
Ich hoffe ich hab mich nicht vertüdelt? Ist das soweit schon so richtg?

Könntest du eventuell für mich ein oder zwei Vektoraxiome mit $\begin{eqnarray*} x^\lambda \end{eqnarray*}$ zeigen, damit ich das so sehe wie man das damit macht?

06.11.2011, 20:00

galoisseinbruder

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Du hast es bei V6 ja schon gemacht. Einfach die Definition einsetzen und Rechenregeln für reelle Zahlen verwenden:
$\begin{eqnarray*} \lambda \otimes ( \alpha \otimes x)=\lambda \otimes (x^\alpha)=x^{\alpha \cdot\lambda}=(\lambda \otimes \alpha )\otimes x \end{eqnarray*}$
(V7) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda ,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (\lambda \color{red}+\color{black} \alpha )\otimes x=(\lambda \otimes x) \color{red}\oplus \color{black}(\alpha \otimes x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda, \alpha \end{eqnarray*}$ sind rell $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

06.11.2011, 20:26

liebe_Maus

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ahhh, ok ich habs verstanden.
Jedoch bleibt mir eines bleibt mir aber unklar und zwar:

Zitat:

Original von galoisseinbruder

(V7) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda ,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (\lambda \color{red}+\color{black} \alpha )\otimes x=(\lambda \otimes x) \color{red}\oplus \color{black}(\alpha \otimes x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda, \alpha \end{eqnarray*}$ sind rell $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Ist das rote plus bei $\begin{eqnarray*} (\lambda \color{red}+\color{black} \alpha )\otimes x=(\lambda \otimes x) \color{red}\oplus \color{black}(\alpha \otimes x) \end{eqnarray*}$ ist deswegen da, weil $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist .

Und weil es nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist es auf (V7) nicht anwendbar und deshalb ist $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ kein reeller Vektorraum!

Ich hoffe das es so richtig ist ?
Und danke Galois für deine fantastische Hilfe Freude

Freude

06.11.2011, 20:32

galoisseinbruder

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Das rote Plus muss die Addition im Körper sein, da Skalare addiert werden. Das ist bei jedem Vektorraum so. Es ist nicht die Addition von Vektoren.
Das Axiom wird hier erfüllt.

06.11.2011, 20:50

liebe_Maus

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Du meinst bzgl. des 7. Vektoraxiom werden sie addiert, da im 5. Vektoraxiom eines reellen Vektorraumes werden die Sklare multipliziert aufgrund der Assoziativität.

Da werft sich bei mir eine Verständnisfrage: Wir haben doch die Addition als $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ definiert. Wenn ich die Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ im V7 anwende, addiere ich doch den Skalar per definition, auch wenn das eine komische Addition ist? Oder liegt das Problem dabei das die Addition bzgl. 2 vektoren definiert ist und nich bzgl. eines vektor und eines Skalar?

lg
liebe_Maus

06.11.2011, 21:03

galoisseinbruder

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Nochmal: $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ist die Vektoraddition. Skalare, d.h. Elemente des Körpers werden mittels der Addition des Körpers addiert. Das sind zwei ganz verschiedene Operationen, die man oft mit dem selben Zeichen + bezeichnet.
Skalare und Vektoren können i.A. nicht addiert werden.

06.11.2011, 21:21

liebe_Maus

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Ahhhhhh ok, stimmt. Danke für den kurzen Rückblick. D.h V7 ist erfüllt. V8 ist auch erfüllt und somit wurden alle Vektoraxiome bezgl. $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ gezeigt. Somit $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ doch ein reeller Vektorraum was zu zeigen war.

Ich danke dir für deine Geduld und deine Hilfsbereitschaft Freude

Freude

lg
liebe_Maus

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