Potenzmenge (beweis)

07.11.2011, 09:04

buddha

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Potenzmenge (beweis)

Meine Frage:
http://www.pictureupload.de/originals/pi...90650_22222.PNG

ich weiß nicht wie ich das beweisen soll, da mir nie ein ansatz gezeigt wurde. Wäre nett wenn mir hier jemand weiter helfen könnte

Meine Ideen:
ich denke ich müsste beweisen dass jedes element x aus P(A) n P(B)
auch element von P(AnB) ist. Dieses formal zu beweisen scheit mir aber unlösbar.

07.11.2011, 10:15

Mazze

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Zitat:

Dieses formal zu beweisen scheit mir aber unlösbar.

Versuchs doch erstmal bevor Du aufgibst. Sei also

$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \end{eqnarray*}$

was gilt dann für x ?

07.11.2011, 10:27

buddha

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daraus wäre für mich lediglich zu folgern, dass
$\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

ist falsch das zu behaupten oder?

07.11.2011, 10:31

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ und

G ?

Grundlegendes zur Potenzmenge :

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von A. Ist also $\begin{eqnarray*} x \in P(A) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} x \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Mach Dir das klar, mehr braucht man für den Beweis auch nicht.

Daher macht der Schritt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$

keinen Sinn. Also nochmal, es sei

$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \end{eqnarray*}$

was gilt dann für x ?

07.11.2011, 10:48

buddha

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ich würd mal sagen:
$\begin{eqnarray*} x\subseteq A \cap x\subseteq B \end{eqnarray*}$
G is unwichtig, A,B sind teilmengen von G

wenn dem so ist,
$\begin{eqnarray*} x \subseteq (A\cap B) \Rightarrow x \in P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

formell richtig, oder fehlt ein schritt?

07.11.2011, 10:56

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\subseteq A \cap x\subseteq B \end{eqnarray*}$

Das ist kein Formaler ausdruck. Der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} x \subseteq A \end{eqnarray*}$

ist eine logische Aussage. Man kann ihr den Wahrheitswert wahr oder falsch zu ordnen. Genau das gleiche gilt für

$\begin{eqnarray*} x \subseteq B \end{eqnarray*}$

Das Symbol $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ bezeichnet eine Mengenoperation. Das heißt man wendet die Operation auf zwei Mengen an, und erhält als Ergebnis wieder eine Menge. Wenn Du jetzt

$\begin{eqnarray*} x\subseteq A \cap x\subseteq B \end{eqnarray*}$

schreibst, dann wendest Du die Mengenoperation Durchschnitt auf zwei Wahrheitswerte an. Das ergibt keinen Sinn. Was Du aber richtigerweise Meinst ist

$\begin{eqnarray*} x \subseteq A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \subseteq B \end{eqnarray*}$

Der Schluss

$\begin{eqnarray*} x \subseteq (A\cap B) \Rightarrow x \in P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

ist dann aber wieder korrekt. Jetzt hast Du

$\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(B) \subseteq P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

gezeigt. Jetzt ist noch

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \subseteq P(A) \cap P(B) \end{eqnarray*}$

zu zeigen.

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07.11.2011, 11:05

buddha

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muss nicht nur die gleichheit bewiesen werden? und keine teilmenge

07.11.2011, 11:06

Mazze

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Wie Beweist man Formal, dass zwei Mengen A und B gleich sind, also dass

$\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$

gilt ?

07.11.2011, 11:17

buddha

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$\begin{eqnarray*} \forall x \in A \wedge \forall x \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\forall x \in A : x \in B) \wedge (\forall x \in B : x \in A) \end{eqnarray*}$

letztere variante sollte auf jeden fall zutreffen. stimmt auch die erste?

07.11.2011, 11:21

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\forall x \in A : x \in B) \wedge (\forall x \in B : x \in A) \end{eqnarray*}$

Ist Äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \land B \subseteq A \end{eqnarray*}$

Und genau so macht man es. Mach Dir klar, dass aus $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ folgt. Dann ist dir auch klar, warum wir die Gleichheit oben so zeigen, wie wir es tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in A \wedge \forall x \in B \end{eqnarray*}$

ergibt keinen Sinn. Wenn man es Sprachlich formuliert heist dass

Für alle x aus A und für alle x aus B.

Sagt nichts aus, oder was meinst Du du? Was ist für diese x ? Können die fliegen ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2011, 12:01

buddha

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$\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(B) \Leftrightarrow x \in P(A) \wedge x\in P(B) \leftrightarrow (x \subseteq A) \wedge (x\subseteq B) \leftrightarrow x \subseteq (A\cap B) \leftrightarrow x \in P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

soweit ich das jetzt verstanden habe ist diese aussage vollkommen richtig, und durch das äquivalenzzeichen is doch beides bewiesen. also wäre das die lösung zu a) ?

07.11.2011, 12:06

Mazze

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Da hast Du wohl am anfang ein $\begin{eqnarray*} x \in \end{eqnarray*}$ vergessen. Abgesehen davon ist das aber völlig in Ordnung.

07.11.2011, 12:29

buddha

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ok nun zu b.

warum muss man nun bei der Vereinigung zweier Potenzmengen P(A) und P(B) angeben dass diese nur eine Teilmenge der Potenzmenge der Vereinigung der Mengen A und B sind?

ich würde das einfach wieder so machen wie in a)

$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \vee x \in P(B) \leftrightarrow x\subseteq A \vee x\subseteq B \leftrightarrow x\subseteq (A\cup B) \leftrightarrow x \in P(A\cup B) \end{eqnarray*}$

offensichtlich hat es ja was mit der Vereinigung zu tuen, da es bei dem Durchschnitt so funktioniert hier aber nicht.
ich meine auch zu wissen, dass die beiden Potenzmengen auch gleich sind wenn sie sich nicht schneiden, ne vernünftige begründung dafür kann ich grade leider nicht aufs papier bringen. Und schon garkein beispiel

07.11.2011, 12:36

Mazze

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Die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} x \subseteq A \lor x \subseteq B \leftrightarrow x \subseteq (A \cup B) \end{eqnarray*}$

ist falsch, daher ist der Beweis nicht richtig. Es gilt nur

$\begin{eqnarray*} x \subseteq A \lor x \subseteq B \rightarrow x \subseteq (A \cup B) \end{eqnarray*}$

Zur Übung überlegst Du dir selbst ein Gegenbeispiel. Dieses hilft Dir dann auch für den eigentlichen Beweis.

07.11.2011, 13:20

buddha

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so, hab mir mal gedanken gemacht, hoffe ich hab ein richtiges beispiel gewählt:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{1,3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \left\{1,2\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cup B= \left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=\left\{\right\},\left\{ 1\right\} , \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 1,2\right\}, \left\{ 1,3\right\},\left\{ 2,3\right\}, \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A)=\left\{ \right\}, \left\{ 1\right\},\left\{ 3\right\} ,\left\{ 1,3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=\left\{ \right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B) = \left\{ \right\},\left\{ 1\right\} , \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\},\left\{ 1,3\right\},\left\{ 2,3\right\} \end{eqnarray*}$

hier ist ja eindeutig zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B) \subseteq P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ ist

07.11.2011, 13:25

Mazze

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Kleine Korrekturen , die Potenzmenge ist auch eine Menge. Daher sollte es

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=\left\{\{\},\left\{ 1\right\} , \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 1,2\right\}, \left\{ 1,3\right\},\left\{ 2,3\right\}, \left\{ 1,2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A)=\left\{ \{\},\left\{ 1\right\},\left\{ 3\right\} ,\left\{ 1,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=\left\{\{\}, \left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{ 2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B) = \left\{\{\}, \left\{ 1\right\} , \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\},\left\{ 1,3\right\},\left\{ 2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

heissen.

Zitat:

hier ist ja eindeutig zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B) \subseteq P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ ist

Das musst Du natürlich allgemein beweisen, aber dass hast Du ja fast schon. Du musst bei deiner Argumentation oben nur den einen $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ ersetzen.

07.11.2011, 13:32

buddha

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alles kla dickes danke Freude

Freude

. ich hab das denke jetzt so weit geschnallt. gut dass es nioch leute wie euch hier im forum gibt smile

smile

bis densen Wink

Wink

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