Abbildung einer komplexen Zahlenmenge

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a²+b²=? Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung einer komplexen Zahlenmenge
Edit (mY+): Keine Bitten um Hilfe, auch nicht im Titel. Das wird entsprechend modifiziert!

Meine Frage:
Hallo ich stehe momentan in HöMa vor einer Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiter komme...
Die Funktion:
Zeigen Sie, dass f die Menge (das Innere des Einheitskreises) auf die Menge
abbildet.

Meine Ideen:
Ich verstehe dass man nun eine komplexe Zahl "z" in f(z) einsetzt und dass für alle komplexen Zahlen die ich einsetzt gelten muss : |z|<1.
Und mein Ergebnis liegt dann immer im 1 oder im 4 Quadranten.
Habe auch schon ein wenig rumprobiert bin aber nicht wirklich sicher wie ich das zeigen soll.
Danke für die Hilfesmile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze z = x + iy und berechne den Bruch, indem du den Nenner rational machst.

mY+
____________________

Hinweis: In der Angabe dürfte sich ein Schreibfehler befinden.
Die geforderte Eigenschaft wird so nicht erreicht.

Die Rechnung kann möglicherweise einfacher werden, wenn man alternativ auch schreibt:



mY+
 
 
a²+b²=? Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen dank für die Hilfe.

Was genau meinst du mit "Hinweis: In der Angabe dürfte sich ein Schreibfehler befinden.
Die geforderte Eigenschaft wird so nicht erreicht." ??

und das mit dem einsetzen von z=a+bi habe ich schon versucht jedoch bekomme ich das "i" irgendwie nicht aus dem Nenner. wobei ich noch weiter daran arbeiten werde:P stehe wahrscheinlich momentan nur sehr stark auf dem schlauch:-/
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Hinweis meine ich, dass der Realteil der durch die Abbildung erzeugten komplexen Zahlen NICHT positiv ist, falls die Voraussetzung (der Betrag ist kleiner oder gleich 1) gelten soll. Oder es stimmt umgekehrt die Voraussetzung nicht.

Zumindest habe ich das durch eine kurze Rechnung festgestellt.

mY+
a²+b²=? Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]21814[/attach]

Das ist die gestellte Aufgabe und ich bin halt momentan an Aufgabenteil c.
also denke ich dass wenn Sie bewiesen haben, dass dies nicht stimmt ein Druckfehler auf dem Blatt ist.
werde jetzt weiter mit dem Ansatz z=a+bi ruspielen Augenzwinkern kann ich wenn ich im Nenner a+bi-1 stehen habe das zu (a-1)+bi zusammenfassen und dann mit dem konjugierten erweitern oder ist das nicht erlaubt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab' das Bild etwas ausgeschnitten, damit es größer angezeigt wird.
Nun, die Angabe stimmt. Also muss ich das nochmals testen.

_____________

Ich habe das mal mit der Zahl z = 1/2 + i/2 gemacht, deren Betrag ist sicher kleiner als 1. [EDIT:] Nach der Abbildung bekomme ich wiederum einen negativen Realteil.
Nun muss man den Beweis noch allgemein machen.


Versuche es du bitte auch mit z = a + bi. Den Nenner machst du reell, indem du mit der konjugiert komplexen Zahl erweiterst. Wenn der Nenner z.B. 1 - i ist, erweiterst du mit 1 + i, so kommt im Nenner dann nur noch 1 + 1 = 2.

mY+
a²+b²=? Auf diesen Beitrag antworten »

OK Super vielen Dank nochmal für die Hilfe!!!

Habe jetzt als Lösung für Re(z)=
a²+b²=? Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry war ein Tippfehler und da ich leider nicht editieren kann hier der richtige Bruch:
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis habe ich - absolut betrachtet - auch. Absolut deshalb, weil bei mir vor dem ganzen Ergebnis noch ein Minus steht. Ich hab' das nochmals gerechnet und bekomme wieder das gleiche Resultat, also einen negativen Realteil.

Wenn ich das nun auch mit einer bestimmten komplexen Zahl teste, z.B. 1/2 + i/2, so erhalte ich diesmal auch einen negativen Realteil (das Ergebnis nach der Abbildung ist. Also muss sich doch ein Druckfehler in der Angabe befinden.

mY+
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