Verteilungsfunktion / Dichtefunktion

07.11.2011, 16:45

loyloep

Verteilungsfunktion / Dichtefunktion

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} (a;b) \end{eqnarray*}$ wird zufällig gleichverteilt im Einheitsquadrat $\begin{eqnarray*} [0;1]\times[0;1] \end{eqnarray*}$ gewählt und das Produkt $\begin{eqnarray*} x = a \cdot b \end{eqnarray*}$ ausgegeben. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(y) = P(x\leq y) \end{eqnarray*}$ und leiten Sie daraus die Dichtefunktion ab.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

07.11.2011, 16:59

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist die Berechnung von $\begin{eqnarray*} F(y) \end{eqnarray*}$ trivial, konzentrieren wir uns also auf $\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$ .

Schauen wir uns mal den Fall $\begin{eqnarray*} y=0.3 \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ -Ebene an:

Alle Punkte unterhalb der Kurve $\begin{eqnarray*} b=\frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ , aber innerhalb des Quadrates $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ , erfüllen die geforderte Bedingung $\begin{eqnarray*} ab\leq y \end{eqnarray*}$ . Im Sinne einer geometrischen Wahrscheinlichkeit entspricht damit die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} F(y) \end{eqnarray*}$ der Fläche dieses Gebietes, denn die fällige Normierung über eine Division durch die Fläche des Gesamtgebietes von $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ kann hier entfallen, die ist ja gleich Eins.

07.11.2011, 17:29

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht ganz klar wie man daraus die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion bestimmt

07.11.2011, 17:47

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich habe ich genau das gerade aufgeschrieben: Also nicht nur "wie man daraus", sondern direkt "wie" man diese Verteilungsfunktion berechnet.

08.11.2011, 20:08

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das die Dichtefunktion ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ und die dazugehörige Verteilungsfunktion ist $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_0^1 \! f(x,y) \, dx dy \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2011, 13:17

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ich muss es wohl nochmal wiederholen:

Zitat:

Original von René Gruber
Alle Punkte unterhalb der Kurve $\begin{eqnarray*} b=\frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ , aber innerhalb des Quadrates $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ , erfüllen die geforderte Bedingung $\begin{eqnarray*} ab\leq y \end{eqnarray*}$ . Im Sinne einer geometrischen Wahrscheinlichkeit entspricht damit die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} F(y) \end{eqnarray*}$ der Fläche dieses Gebietes

Was ist daran nicht zu verstehen, Skizze für den Fall y=0.3 war auch noch dabei.

Neue Frage »

Antworten »

Verteilungsfunktion / Dichtefunktion

Verwandte Themen