Körper nachweisen |
| 07.11.2011, 17:54 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Körper nachweisen K:=QxQ Addition: (a,b)+(a',b')=(a+a', b+b') Multipikation: (a,b)*(a',b')=(aa'+2bb',ab'+ba') Zeige, dass (K,+,*) ein Körper Körper ist Meine Ideen: Hier muss ich nun die Axiome für einen Körper nachweisen. Zunächst (K,+) ist abelsche Gruppe. Das heißt das Assoziativgesetz muss gelten ich versteh nicht so richtig, was mit a' und b' gemeint ist. Könnte man dafür auch c und d nehmen? oder hat das einen sinn, das es so gewählt ist? Assoziativität bedeutet ja, dass ich die Klammern auch weglassen kann. Nur wie ist das hier konkret gemeint? |
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| 07.11.2011, 18:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Buchstaben sind nur Variable. Die Gesetze müssen für alle Element der Menge gelten, egal wie sie heißen. Du brauchst für einen Körper eine 0 und eine 1, additive abelsche Gruppe, multiplikative (abelsche) Gruppe, Distributivgesetze ... viel Spaß. (K,+) assoziativ . ((a,b)+(c,d))+(e,f) = ... = (a,b)+((c,d)+(e,f)) ist für alle a,b,c,d,e,f zu zeigen. |
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| 07.11.2011, 18:52 | ramanujan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, da ich an der gleichen Aufgabe sitze, starte ich keinen neuen Thread, sondern schreibe meinen Beitrag hier. Ich hoffe, das ist okay so. Was mich ein bisschen ratlos macht, ist das Zeigen der Existenz eines inversen Elements bzgl. der Multiplikation. Das neutrale Element bzgl. der Multiplikation ist (1,0), das habe ich schon nachgewiesen. Für das inverse Element muss dann gelten: Zu einem beliebigen (a,b) aus K existiert ein (c,d) aus K, so dasss (c,d) * (a,b) = (1,0). Also muss man c und d bestimmen, indem man folgendes LGS löst: Und dabei komme ich auf keinen grünen Zweig ... gibt es einen besonderen Trick hier? Auf dem Zettel war zusätzlich noch der Hinweis gegeben, dass verwendet werden darf (für den Nachweis des inversen Elements), womit ich aber gar keinen Bezug zur Aufgabe herstellen kann ... |
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| 07.11.2011, 19:06 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also das mit der Assoziativität hat schon mal geklappt. Jetzt muss ich doch ein neutrales und ein inverses Element für (K,+) nachweisen, oder? Wie macht man den soetwas? |
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| 07.11.2011, 20:40 | ray.montag | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das würde nicht reichen. Im Einzelnen musst du nachweisen: K1: Assotiativität und Kommunativität der Addition K2: Das Nullelement K3: Existenz des additiven Inversen K4: Assotiativität der Multiplikation K5: Die Distributivgesetze Dann hast du schon mal einen Ring. Wenn du jetzt noch die folgenden beweist: K6: Das Einselement existiert (Unitärer Ring) K7: Das Kommutativgesetz für die Multiplikation (Kommutativer Ring) K8: Das multiplikative Inverse Dann hast du einen Körper. |
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| 09.11.2011, 18:09 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich habe jetzt alles nachgewiesen bis auf das inverse Element und die Distrbutivgesetze. Beim inversen Element hänge ich an folgender Stelle: (c,d)+(a,b)=(0,0) c+a=0 d+b=0 wie komme ich jetzt auf c und d Bei dem Distributivgesetz weiß ich nicht wie ich a*(b+c)=a*b+a*c auf die Aufgabe anwenden soll. Wär super wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte |
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| 09.11.2011, 18:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
... das war einfach. Distributivgesetz: Zu zeigen ist |
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| 09.11.2011, 18:41 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh man so darf man das machen man bin ich blöd. danke bei den Distributivgesetzen bin ich jetzt bei (a,b)*((c,d)+(e,f))=(cea+2dfb,af+be) (a,b)*(c,d)+(a,b)*(e,f)=(a(c+e)+2b(d+f),a(d+f)+b(c+e)) aber das ist ja nicht gleich irgendwas muss ich falsch gemacht haben hab es jetzt schon ein paar mal überprüft und finde den Fehler nicht. |
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| 09.11.2011, 18:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die erste Zeile ist schon falsch, mach langsamer. Immer nur eine Operation auf einmal, sonst sind die Patienten tot. |
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| 09.11.2011, 19:05 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh ich habs gefunden ich hatte bei der ersten plus Verknüfung aus versehen mal gerechnet. Jetzt stimmts. Supi dankeschön Muss ich das ganze jetzt noch mal andersrum machen also für ((a,b)+(c,d))*(e,f)=(a,b)*(e,f)+(c,d)*(e,f) ? oder reicht das so? |
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| 10.11.2011, 18:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
(x+y)*z=z*(x+y)=z*x+z*y=x*z+y*z , also folgt das andere Distributivgesetz aus dem einen Distributivgesetz und der Kommutativität der Multiplikation. Zwecks Übung darfst du es aber auch gerne direkt ausrechnen. |
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