rekursive Folge

09.11.2011, 15:33

Steffe2361

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rekursive Folge

Hi,

Nun habe ich das Problem das ich bei folgender Folge die einen Grenzwert erraten muss und dannach die Konvergenz beweißen muss.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{a_n}{2} +3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Nun ja ich scheitere schon daran wie ich einen Grenzwert erraten soll.....

Und um eine Konvergenz zu beweißen muss ich zeigen, dass sie monoton und beschränkt ist. Leider weiß ich nicht wie ich dabei mit einer rekursiven Folge beginnen soll?.. verwirrt

verwirrt

bzw schaffe ich es nicht einmal ein paar Folgeglieder aufzuschreiben......

Danke für eure Hilfe

mfg

09.11.2011, 15:41

klarsoweit

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RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von Steffe2361
Nun ja ich scheitere schon daran wie ich einen Grenzwert erraten soll.....

Nimm an, daß die Folge gegen einen Wert a konvergiert. Dann müßte also gelten: $\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Steffe2361
bzw schaffe ich es nicht einmal ein paar Folgeglieder aufzuschreiben......

Dazu brauchst du auch einen Anfangswert, der normalerweise auch angegeben wird.

Übrigend heißt es nicht "beweißen", denn bei einem Beweis wird nichts weiß gemacht. smile

smile

09.11.2011, 16:04

Steffe2361

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RE: rekursive Folge

Zitat:

Dazu brauchst du auch einen Anfangswert, der normalerweise auch angegeben wird.

ja das ist ja der spass, es gibt keinen Anfangswert....

Zitat:

Nimm an, daß die Folge gegen einen Wert a konvergiert. Dann müßte also gelten: $\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$

hmm also soll ich $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$ berechnen, dass würde bedeuten

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{a}{2} + \lim_{a \to \infty }3 = \infty +3 \end{eqnarray*}$

Da kann ja was nicht stimmen....

mfg
Danke

09.11.2011, 16:34

Verkasematucker

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RE: rekursive Folge
Übrigens:
Wenn Du noch nicht so oft mit rekursiven Folgen zu tun hattest, dann wäre es - um mal ein Gefühl für die Dinger zu bekommen - nicht schlecht die ersten Folgeglieder hinzuschreiben.

Gehen wir also aus von

$\begin{eqnarray*} a_1:=a,~a_{n+1}=\frac{a_n}2+3. \end{eqnarray*}$

Damit berechnet man:

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac a2 + 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac a4 + \frac 32+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\frac a8 + \frac 34+\frac 32 +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5=\frac a{16} + \frac 38+\frac 34 +\frac 32 +3 \end{eqnarray*}$

und so weiter.

Damit solltest Du in der Lage sein eine explizite Formel anzugeben (geom. Summenformel!), deren Richtigkeit z.B. induktiv verifiziert werden könnte.

Die explizite Darstellung hat den großen Vorteil, die Grenzwertuntersuchung häufig stark zu vereinfachen. Erkauft werden muss dieser Vorteil durch das Herausarbeiten der expliziten Darstellung, was bei einer derart simplen Rekursionsvorschrift aber machbar sein sollte.

09.11.2011, 18:08

klarsoweit

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RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von Steffe2361

Zitat:

Nimm an, daß die Folge gegen einen Wert a konvergiert. Dann müßte also gelten: $\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$

hmm also soll ich $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$ berechnen, dass würde bedeuten

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{a}{2} + \lim_{a \to \infty }3 = \infty +3 \end{eqnarray*}$

Da kann ja was nicht stimmen....

Hallo!

Wink

a geht nicht gegen unendlich, sondern a ist schon der Grenzwert. Du brauchst $\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$ nur nach a aufzulösen.

09.11.2011, 20:58

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
@Verkasematucker

Ich habe mir jetzt angeschaut, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{a_n}{2} +3 \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{a_{n-1}}{2} +3 \end{eqnarray*}$

somit kann ich $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in meine Angabe einsetzen

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{\frac{a_{n-1}}{2} +3}{2} +3 = \frac{a_{n-1}}{4}+\frac{3}{2} +3 \end{eqnarray*}$

Das kann ich immer wieder weiterführen und bin so zum Schluss gekommen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{3}{2^n} \end{eqnarray*}$ doch das gleich ist.

Und wenn ich das jetzt richtig interpretiere und das n in Nenner steht müsste der Grenzwert 0 sein.

@klarsoweit

Zitat:

Hallo! Wink a geht nicht gegen unendlich, sondern a ist schon der Grenzwert. Du brauchst $\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \end{eqnarray*}$ nur nach a aufzulösen.

meist du ich solle a wiederum einsetzen?

sprich:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{a}{2} +3 \Rightarrow \frac{\frac{a}{2} +3 }{2} +3 = \frac{a }{4}+\frac{3}{2}+3 \end{eqnarray*}$

Das kann ich auch so weiterführen.....

und komme auf das selbe wie oben

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{3}{2^n} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt??
mfg
Danke

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09.11.2011, 22:34

klarsoweit

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RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von Steffe2361
meist du ich solle a wiederum einsetzen?

Nein, du sollst eine Gleichung, in der nur das a vorkommt, nach a auflösen. Das lernt man ungefähr in der 6. Klasse.

10.11.2011, 10:20

steffen2361

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RE: rekursive Folge
Naja wenn das wirklich so einfach is

[latex] a= \frac{a}{2} +3 [\latex]

[latex] 2a= a + 6[\latex]

[latex] a = 6 [\latex]

Hast du das so gemeint?

Bzw ist 6 jetzt der grenzwert?

Mfg

10.11.2011, 10:36

klarsoweit

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RE: rekursive Folge
Ja, 6 ist der Grenzwert, wenn die Folge konvergiert.
Daß die Folge als solche konvergiert, muß aber noch bewiesen werden.

10.11.2011, 10:39

steffen2361

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RE: rekursive Folge
Ok und dieser trick funktioniert bei jeder rrekursiven folge?

Und damit sie konvergiert muss ich nachweißen, dass sie monoton und beschränkt ist oder?

Mfg

10.11.2011, 10:49

klarsoweit

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RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von steffen2361
Ok und dieser trick funktioniert bei jeder rrekursiven folge?

Eine Garantie möchte ich nicht abgeben. Aber meistens sollte das gehen.

Zitat:

Original von steffen2361
Und damit sie konvergiert muss ich nachweißen, dass sie monoton und beschränkt ist oder?

Das wäre eine, aber nicht die einzige Möglichkeit.

10.11.2011, 10:57

steffen2361

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RE: rekursive Folge
Was gäbe es denn noch für eine möglichkeit?

Mfg

10.11.2011, 11:07

klarsoweit

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RE: rekursive Folge
Falls möglich, die rekursive Folge auf eine explizite Folge zurückführen und von dieser die Konvergenz mit Grenzwertsätzen etc. nachweisen.

Bei dieser Folge würde ich es aber auch mit Monotonie und Beschränktheit versuchen.

10.11.2011, 11:33

René Gruber

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Ein "Trick", der zwar nicht immer, aber sehr oft eine Vereinfachung der Betrachtung liefert:

Man spaltet den (z.B. per Fixpunktbetrachtung) bereits ermittelten mutmaßlichen Grenzwert additiv ab, d.h. man substituiert dabei die eigentlich zu betrachtende Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ durch eine mutmaßliche Nullfolge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ . Im vorliegenden Fall wäre das die Substitution $\begin{eqnarray*} a_n = 6 + b_n \end{eqnarray*}$ , was in die Rekursionsgleichung eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 6 + b_{n+1} = \frac{6+b_n}{2} +3 \end{eqnarray*}$

ergibt, umgestellt zu $\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{b_n}{2} \end{eqnarray*}$ . Hilft entscheidend beim Konvergenznachweis, hier sogar beim Gewinnen einer expliziten Formel.

10.11.2011, 12:44

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
hey danke für eure Tipps:

Ich habe es einmal so probiert zuerst die Monotonie

Nachdem ich mir ein paar Glieder der Folge angessehen habe, komme ich zum Schluss das Sie streng monoton steigend ist.

desshalb $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Also müsste auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n+2} \end{eqnarray*}$ gelten

ich setze direkt ein desshalb

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{2} +3 < \frac{a_{n+1}}{2} +3 \end{eqnarray*}$

Multipliziert mit 2

$\begin{eqnarray*} a_n +6 < a_{n+1} +6 \end{eqnarray*}$ Passt also Somit monoton steigend.

Und nun die Beschränktheit
Nachdem es nun monoton wachsend ist müsste die untere schranke a_1 sein was nichts anderes als a ist

obere Schranke ist ja sollte ja 6 sein dank unseres Grenzwertes. Um sicher zu gehen nehm ich aber mal 10( Ist ja egal welche ich nehme)

Mittels induktion
Voraussetzung : $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{a_n}{2} +3 <10 \end{eqnarray*}$

zz: $\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{2} +3 <10 \end{eqnarray*}$

LAut Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{10}{2} +3 <10 \Rightarrow 8 < 10 \end{eqnarray*}$

Daher auch nach oben beschränkt

kann man das so lassen?
mfg

10.11.2011, 13:06

klarsoweit

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RE: rekursive Folge
Die Induktionsbeweise haben einen einzigen Nachteil: sie haben keinen Induktionsanfang. Und wenn du mal mit a_1 = 100 beginnst, wirst du sehen, daß die Folge nicht monoton steigt, sondern fällt.

Nicht von ungefähr habe ich im 1. Beitrag nach dem Anfangswert gefragt.

10.11.2011, 13:25

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
wir haben keinen anfagswert angegeben.....hmmm

Bsp 8 im folgenden Link

http://homepage.univie.ac.at/christian.s...EF-Anal-UE4.pdf

10.11.2011, 13:45

klarsoweit

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RE: rekursive Folge
OK. Dann solltest du die Fälle a_1 <= 6 und a_1 > 6 unterscheiden.

10.11.2011, 13:46

Steffe2361

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RE: rekursive Folge
ok danke werd ich machen smile

smile

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