Ungleichung vollständige Induktion

09.11.2011, 15:58

euklidis

Ungleichung vollständige Induktion

Ich habe eine Frage zur Aufgebe, die da lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{ a_{1} + a_{2} +...+a_{n}}{n} \geq 1 \mbox{ mit } a_{1} ,a_{2},...,a_{n} > 0 \mbox{ und } a_{1}*a_{2}*...*a_{n} = 1 \end{eqnarray*}$
diese möchte ich mit vollst. Induktion beweisen.

Also mein Induktionsanfang mache ich mit:
$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei: }n=1 \Rightarrow a_{1} = 1 \Rightarrow \frac{1}{1} \geq 1<br /> \mbox{Zu zeigen: } \frac{(a_{n+1})}{n+1} \geq 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt hänge ich fest. Wir haben uns schon überlegt, dass bei n = 2, a1=1 unser a2 = 1 sein müsste, usw. Aber wenn bei n = 2 unser a1 nicht = 1 ist, dann wissen wir iwie nicht weiter. Ein Wink wäre nett.

09.11.2011, 18:03

klarsoweit

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RE: Ungleichung vollständige Induktion

Zitat:

Original von euklidis
$\begin{eqnarray*} \mbox{Zu zeigen: } \frac{(a_{n+1})}{n+1} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Falsch. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{1} + a_{2} +...+ a_{n+1}}{n+1} \geq 1 \end{eqnarray*}$
Der Beweis ist etwas tricky und ich bevorzuge dafür diese Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} a_{1} + a_{2} +...+a_{n} \geq n \end{eqnarray*}$

Sei obige Ungleichung gegeben. Wir betrachten n+1 Zahlen mit
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \ldots \cdot a_n \cdot a_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$

O.B.d.A. sei x_1 >= 1.
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit $\begin{eqnarray*} a_1 = (1 + \epsilon)^n \end{eqnarray*}$

a_1 in $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \ldots \cdot a_n \cdot a_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$
eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} ((1 + \epsilon) \cdot a_2) \cdot \ldots \cdot ((1 + \epsilon) \cdot a_{n+1}) = 1 \end{eqnarray*}$

Das sind n Faktoren und man kann daher die IV verwenden. Also folgt:
$\begin{eqnarray*} (1 + \epsilon) \cdot a_2 + \ldots + (1 + \epsilon) \cdot a_{n+1} \geq n \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} a_2 + \ldots + a_{n+1} \geq \frac{n}{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} \geq \frac{n}{1+\epsilon} + (1+\epsilon)^n \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} \geq \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch Bernoullische Ungleichung und dann ist man schon da.
Augenzwinkern

13.11.2011, 13:38

euklidis

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Hi, erst einmal eine Milliarde mal Dankeschön, für deine super Hilfe. Ich war ziemlich in einer anderen Richtung unterwegs. Zu deiner Lösung hab ich allerdings noch eine Frage. Ich verstehe, bzw. sehe nicht, wo ich jetzt meinen Bernoulli gleich einbauen soll. Ich zeige mal, was ich mir gerade denke:

Wir haben ja:
$\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} \geq \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$
Zeigen müssen wir also noch, dass:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} &\geq& n+1 \end{eqnarray*}$
Dazu:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} &\geq& n+1 \\ \iff n+(1+\epsilon)^{n+1} &\geq& (n+1)(1+\epsilon) = (1+n\epsilon)+n+\epsilon \\ \iff n+(1+\epsilon)(1+\epsilon)^{n} &\geq& (1+n\epsilon)+n+\epsilon \\ \mbox{bernoulli} \iff n+(1+\epsilon)(1) &\geq& (1)+n+\epsilon \geq n+1 \qed \\ \end{eqnarray*}$
Oder irre ich mich da?

14.11.2011, 10:34

klarsoweit

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Zum einen ist die Anwendung der Bernoulli-Ungleichung keine Äquivalenzumformung, zum anderen kann ich nicht so richtig erkennen, wie du die angewendet haben willst. So geht's:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} \geq \frac{n+1+(n+1) \cdot \epsilon}{1+\epsilon} = \frac{(n+1) \cdot (1 + \epsilon)}{1+\epsilon} = n+1 \end{eqnarray*}$ smile

15.11.2011, 20:53

euklidis

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Oh, ja, Danke. Das mit dem Abschätzen ist mir noch iwie Fremd. Ich hoffe da bekomme ich noch mehr Übung rein.

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