Eigenschaften zur Matrix "zeigen"

09.11.2011, 16:42

graank

Eigenschaften zur Matrix "zeigen"

Hi an alle mathe-genies Augenzwinkern

Ich bräuchte hilfe bei folgender matrix aber unter vollständiger auflösung des terms MX.

X ist eine m x n matrix, für die X'X invertierbar ist.
Man soll zeigen, dass die Matrix M = I - X(X'X)^-1 X' folgende Eigenschaften besitzt:
a) MX = 0
b) MM = M

Freude

Danke für jede Hilfe!
Lg

09.11.2011, 16:45

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Aufgabe brauchts kein Genie: einsetzen und ausrechnen.

09.11.2011, 17:04

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm und wie löst man den term MX? Also unter welcher regel funktioniert das?
Freude

09.11.2011, 17:07

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich setz mal für Dich ein:
$\begin{eqnarray*} MX=(I-X(X^tX)^{-1}X^t)X \end{eqnarray*}$
Jetzt Distributivität der Matrizenmultiplikation anwenden und schon stehts (fast) da.

09.11.2011, 18:51

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt länger überlegt was du mit Distributivität der Matrizenmultiplikation meinst.
Ich kenne ja die Regel A0 = 0A = 0

Also für den Term wäre das dann MX = XM = 0 oder?
Das wäre ja eine sehr triviale Lösung.
Aber ich verstehe einfach nicht wie ich den Term vollständig auflösen kann.

X ist ja eine invertierbare Matrix, welche mit n x n definiert ist, in diesem Fall ist es aber eine m x n Matrix. (warum eigentlich?)

Irgendwie bin ich total verwirrt, Matrizen zu berechnen kann ich ja halbwegs, aber hier verstehe ich einfach die Aufgabenstellung nicht.

Ich hoffe meine Unfähigkeit ist kleiner als eure Nerven.
Mfg

09.11.2011, 19:00

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde $\begin{eqnarray*} MX=XM \end{eqnarray*}$ gelten so wären die Matrizen kommutativ.
Ich meine das Distributivgesetz, in der Variante die auch als ausmultiplizieren bekannt ist.

09.11.2011, 20:00

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

MX = ( I - X * ( X' * X)^-1 * X') * X
MX = ( I - X^2 - X^2 * X ) * X
MX = IX - X^3 - X^4

so?

Dann könnte man ja durch x dividieren um auf M zu kommen oder?

MX = I*X - X^3 - X^4 | : X
M = I - X^2 - X^3 <- steht doch so in der Angabe

Lg

09.11.2011, 20:07

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

X' steht doch für die transponierte Matrix? (Du hast Dich nicht beschwert als ich das so geschrieben hab.).
Es ist im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} A^tA\neq A^2 \end{eqnarray*}$ , ebenso $\begin{eqnarray*} A^t\neq A \end{eqnarray*}$ (Matrizen die letzteres erfüllen nennt man symmetrisch).
Wo ist das Inverse von der 1. zur 2. Zeile hin?
Du kannst nur durch eine invertierbare Matrix dividieren. wir wissen nicht ob X invertierbar ist, i.A. ist X es nicht.
Wir wollen nicht M berechnen (das kennen wir ja schon), sondern MX!

09.11.2011, 20:32

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich dachte X = (x*i*j) und X' = (m*i*j) und x*i*j = m*i*j -> X' = X weil (m*i*j) = (x*i*j)
...hm aber anscheinend darf man das nicht machen bzw. hab ich auch falsch verstanden

du meintest ja $\begin{eqnarray*} A^tA\neq A^2 \end{eqnarray*}$ , ebenso $\begin{eqnarray*} A^t\neq A \end{eqnarray*}$

könnte man eigentlich eine transponierter Matrix mit einer anderen transponierten Matrix multiplizieren?

X' * X' = X'^² ?

Derzeit komme ich auf das Ergebnis:

MX = ( I - X * X' - X^² * X') * X
MX = I*X - X^² * X*X' - X^³ * X' *X

und jetzt?

09.11.2011, 20:41

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von graank
Oh ich dachte X = (x*i*j) und X' = (m*i*j) und x*i*j = m*i*j -> X' = X weil (m*i*j) = (x*i*j)

Betrachte $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 &1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Was Deine obige Notation darstellt verstehe ich nicht.
...hm aber anscheinend darf man das nicht machen bzw. hab ich auch falsch verstanden

Zitat:

könnte man eigentlich eine transponierter Matrix mit einer anderen transponierten Matrix multiplizieren?
X' * X' = X'^² ?

Natürlich.

Zur Rechnung: ein Fehler ist noch drin:
$\begin{eqnarray*} (X^tX)^{-1} \neq X X^t-X^2 \end{eqnarray*}$
Wo kommt auf einmal aus einer reinen Multiplikation auf einmal eine Addition her?
Was hast das $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ eigentlich?

09.11.2011, 21:07

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppala! Ja stimmt natürlich!

Also MX = ( I - X * X'^-1 * X^-1 * X ' ) * X
MX = I*X - X^² * X*X'^-1* X*X^-1 * X*X'

X * X^-1 bleibt ja oder X^²^-1 ?

Danke für deine Hilfe!

09.11.2011, 21:16

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

Aja und jetzt kommt ja noch Eigenschaft b)

Also für MM = M muss ich wieder einsetzen und ausrechnen oder?

09.11.2011, 21:24

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von graank

X * X^-1 bleibt ja oder X^²^-1 ?

gilt $\begin{eqnarray*} 7\cdot \frac{1}{7}=7^{2^{-1}} \end{eqnarray*}$ ?
Und es ist wieder falsch ausmultipliziert. An jeden Summanden das X nur einmal
(das ist Unterstufenstoff...)
AUßerdem ist Matrizenmultiplikation nicht kommutativ: i.A. $\begin{eqnarray*} AB \neq BA \end{eqnarray*}$ .
und es gilt $\begin{eqnarray*} (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Und zum wiederholten mal: hier ist $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht definiert
Zu zeigen ist nachwievor MX=0.
Die zweite funktioniert auch wieder über richtiges Einsetzen.

10.11.2011, 12:25

graank

Auf diesen Beitrag antworten »

M*X=(I-X*(X'*X)-1X')*X
=X-X*(X'X)-1X'*X
=X-X*(X'X)-1(X'X)
=X-X*I
=X-X
=0

hm so?

und bei b)

M*M = M
(I-X*(X'*X)-1X') * (I-X*(X'*X)-1X') = M

M ist ja 0 oder?
weil
M = I - X * X^-1 * X'*X'^-1
M = I - I * I
M = I - I
M = 0

M*M = M weil 0*0 = 0

Lg

11.11.2011, 11:52

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich mich erst so spät melde.
So ist alles richtig, habe nichts auszusetzen.
Man könnte die a) sogar etwas kürzer hinschreiben wenn man davor schon M=0 zeigt.

Neue Frage »

Antworten »

Eigenschaften zur Matrix "zeigen"

Verwandte Themen