Determinante lösen

09.11.2011, 20:05	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante lösen Der Wert der Determinante $\begin{eqnarray} D= \begin{vmatrix} 1 & a & a^{3} \\ 1 & b & b^{3} \\ 1 & c & c^{3} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ soll in Produktform geschrieben werden. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} D= \left( b-a \right) \cdot \left( c-a \right)\cdot \left( c-b \right)\cdot \left( a+b+c \right) \end{eqnarray}$ Ich habe damit begonnen die erste Spalte bis auf $\begin{eqnarray} a_{11} \end{eqnarray}$ Null zu setzen, anschließend habe ich $\begin{eqnarray} \left(b-a\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(c-a\right) \end{eqnarray}$ vor die Determinante gezogen. Dann bekomme ich $\begin{eqnarray} D= \left(b-a\right) \cdot \left(c-a\right) \begin{vmatrix} 1 & b^{2}-a^{2} \\ 1 & c^{2}-a^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ heraus. Weiter aufgelöst: $\begin{eqnarray} D= \left(b-a\right) \cdot \left(c-a\right) \cdot \left(c^{2}-b^{2}\right) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand auf die Sprünge helfen wie ich auf die vorgegebene Lösung komme, ich sehe es nicht.
09.11.2011, 20:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} b^3 - a^3 = \left( b-a \right) \left( b^2 - a^2 \right) \end{eqnarray}$
09.11.2011, 21:28	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Ich habe auch ein Fehler in die angebliche Lösung getippt. Es müsste lauten: $\begin{eqnarray} D_{1}= \begin{vmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_{3}= D_{1}\cdot \left(a+b+c\right) \end{eqnarray}$ Gesucht ist die Produktform von $\begin{eqnarray} D_{3} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} D_{1}= \left(b-a\right) \cdot \left(c-a\right) \cdot \left(c-b\right) \end{eqnarray}$ ist. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} D_{3}= \left[\left(b-a\right) \cdot \left(c-a\right) \cdot \left(c-b\right) \right] \cdot \left(a+b+c\right) \end{eqnarray}$ als Lösung. Ich kann die Lösung allerdings nicht ganz nachvollziehen.
09.11.2011, 21:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollen jetzt plötzlich $\begin{eqnarray} D_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_3 \end{eqnarray}$ sein? Was sind die Definitionen für diese Größen, was abgeleitete Formeln? Im übrigen sieht mir das Ganze nach dem alten Vandermonde aus.
09.11.2011, 21:43	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D_3 \end{eqnarray}$ ist die Determinante im ersten Post, ganz oben. Ich wollte es editieren, kann es jedoch nicht mehr. $\begin{eqnarray} D_1 \end{eqnarray}$ ist eine Determinante aus einer vorherigen Aufgabe, die komplette Determinante $\begin{eqnarray} D_1 \end{eqnarray}$ habe ich daher im zweiten Post aufgeschrieben. Vandermonde sagt mir jetzt nichts, da muss ich wohl mal google bemühen.
10.11.2011, 23:36	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den ganzen Tag darüber gegrübelt, komme aber auf keinen grünen Zweig. Ich habe mir diesen Post (!) angesehen und versucht es nach zu vollziehen. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3\end{vmatrix} && \stackrel{a}=\begin{vmatrix} 1 & x_1-x_1 & x_1^2-x_1x_1 & x_1^3-x_1^2x_1 \\ 1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_2x_1 & x_2^3-x_2^2x_1 \\ 1 & x_3-x_1 & x_3^2-x_3x_1 & x_3^3-x_3^2x_1 \\ 1 & x_4-x_1 & x_4^2-x_4x_1 & x_4^3-x_4^2x_1\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Hier wurde auf die zweite Spalte $\begin{eqnarray} \cdot \left(- x_{1} \right) \end{eqnarray}$ multipliziert. Wieso ist dann aber die dritte und vierte Spalte mit anderen Werten multipliziert? Also nicht auf die komplette 3. Spalte $\begin{eqnarray} \cdot \left(- x_{1}x_{1} \right) \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \cdot \left(- x_{2}x_{1} \right) \end{eqnarray}$ usw. ?
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