Kugel in Trichter

09.11.2011, 21:33	Chris123456	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel in Trichter Meine Frage: Es sind drei Ebenen gegeben: E1: x-2y+z=0, E2: x+3y+z=0 und E3: 4x-y-z=0. In dem, von den 3 Ebenen aufgespannten Trichter, liegt eine Kugel mit Masse m. Nun sollen die Druckkräfte, die von der Kugel auf die 3 Ebenen ausgeübt werden, brechnet werden. Wie stelle ich das am Besten an? Meine Ideen: Ansatz: Bringt mir das irgendetwas, wenn ich mit den Schnittpunkt der 3 Normalvektoren der Ebenen berechne? Und wenn ja, wie stelle ich das an?
10.11.2011, 10:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine 3 Ebenegleichungen lauten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Die Kugel drückt jeweils senkrecht auf diese Ebenen. Die senkrechten Vektoren, in deren Richtung die Kräfte wirken, kann man sofort ablesen: $\begin{eqnarray} \vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec c=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Gravitationskraft auf die Kugel wirkt senkrecht nach unten und lautet demnach $\begin{eqnarray} \vec F=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei ist m die Masse und g die Erdbschleunigung. Die Gewichtskraft muss äquivalent sein zu den 3 Kräften, die senkrecht auf die 3 Ebenen wirken. Gesucht ist also folgende Linearkombination $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix}}_{\text{Graviationskraft}}=\underbrace{\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Teilkraft 1}}+ \underbrace{\beta \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Teilkraft 2}} + \underbrace{\gamma \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}}_{\text{Teilkraft 3}} \end{eqnarray}$ Das ist ein Gleichungssystem für die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray}$ .
10.11.2011, 13:10	Chris123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
wow danke! echt ne tolle lösung ... hab nicht gewusst dass man das gleichsetzen kann! Danke dir!

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