Ein Beweis von Euklid

10.11.2011, 12:54	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beweis von Euklid Hallo, liebes Forum! Heute habe ich auch einmal eine Frage. Es geht um etwas ganz und gar Simples, deshalb habe ich es auch unter Schulgeometrie gepostet. Ich lese gerade in einem Klassiker, nämlich die "Elemente" von Euklid. Leider habe ich auf Seite 7 schon ein Problem. (Trotzdem habe ich schon weiter gelesen... ) Es geht - mit unseren Worten gesagt - darum, daß man aus drei Seiten ein bis auf Kongruenz eindeutiges Dreieck erhält. Im Beweis dazu wird angenommen, daß mehr als ein Dreieck entstehen könnte, was auf einen Widerspruch führt. In dem Beweis wird einmal Bezug genommen auf §5 des Abschnitts 1, wo bewiesen wurde, daß die Basiswinkel eines gleichschenkeligen Dreiecks gleich groß sind. Einen zweiten Bezug gibt es zum Axiom Nr. 8, das da lautet: "Das Ganze ist größer als der Teil." Ich habe den Beweis nun schon so oft gelesen, komme aber immer dort nicht weiter, wo es darum geht, daß ein Winkel größer ist als der andere bzw. es nach unserer (falschen und zu widerlegenden) Annahme sein müßte. Wenn ich einen Denkfehler mache oder einen Knick in einer Gehirnwindung habe, dann passiert das natürlich immer wieder. Hier ist der Text und das zugehörige Bild (die Farben sind von mir ): Es ist nicht möglich, über derselben Strecke zwei weitere Strecken, die zwei festen Strecken entsprechend gleich sind, an denselben Enden wie die ursprünglichen Strecken ansetzend, auf derselben Seite in verschiedenen Punkten zusammenzubringen. Wäre dies nämlich möglich, so bringe man über derselben Strecke AB zwei den festen Strecken AC, CB entsprechend gleiche weitere Strecken AD, DB in verschiedenen Punkten C und D zusammen, und zwar auf derselben Seite und an denselben Enden ansetzend, so daß CA und DA, die an demselben Ende, nämlich A ansetzen, einander gleich sind, ebenso CB und DB, die an demselben Ende B ansetzen; ferner ziehe man CD. Da dann AC = AD, so wäre auch $\begin{eqnarray} \angle \end{eqnarray}$ ACD = ADC (I,5); . Da ebenso CB = DB, so wäre auch $\begin{eqnarray} \angle \end{eqnarray}$ CDB = $\begin{eqnarray} \angle \end{eqnarray}$ DCB. Wie oben bewiesen, wäre er zugleich weit größer als dieser; dies ist aber unmöglich – S. Winkelsymbole stehen wirklich nur an manchen Stellen, was aber nichts heißen muß. Der rot markierte Text ist jener, dem ich nicht folgen kann. Wer blamiert mich und sagt mir, wie's gemeint ist? Ich freue mich auf einen kleinen Denkanstoß!
10.11.2011, 18:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Beweis von Euklid ich verstehe es immer noch nicht, for i = 1 to $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ lesen, lösen, verwerfen und verzweifeln next sollte man nicht doch ">" und "<" vertauschen $\begin{eqnarray} \angle ADC =\angle ACD \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \angle{ADC} <\angle{ DCB} \end{eqnarray}$ daher $\begin{eqnarray} \angle{CDB}<\angle{DCB} \end{eqnarray}$ im widerspruch zu $\begin{eqnarray} \angle{CDB}=\angle{DCB} \end{eqnarray}$ for i = 1 to $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ lesen, lösen, verwerfen und verzweifeln next oder was meinst du ABCDCBDACDB.....und das in (alt)griechisch $\begin{eqnarray} \alpha\beta\gamma\delta..... \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt gesandt haben werde, werde ich es wieder löschen wollen, also nicht böse sein, wenn´s mist ist..... eidt: ich lösche ES (nun doch noch) nicht, aber ich hasse ES! denn es zeigt mir, dass ich noch dümmer bin, als auch der arzt, den ich versehentlich aufgesucht habe, glaubt (er hat mir ginkoextrakt gegen totale hirnige verkalkung verschrieben und da ich den ginkobaum sehr liebe, schau´n ma ´mal)
10.11.2011, 19:24	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für dein Mit-Leiden! Ich habe jetzt noch dreimal überprüft, ob ich alles richtig abgeschrieben habe, aber es ist so. Ich verstehe ja, daß jeweils die blauen und die roten Strecken mit CD gleichgroße Winkel bilden müßten, eben weil jeweils die beiden blauen und die beiden roten Strecken gleich lang sind. Aber wie kommt der Herr Euklid darauf, daß ein Winkel größer als der andere sei bzw. woraus würde sich das ergeben? Und wo spielt hier das Axiom "das Ganze ist größer als der Teil" hinein??? Hihi, wenn man sonst keine Probleme hat, dann macht man sich eben welche. Ich glaube aber, heute lösen wir dieses Geheimnis nicht mehr.
10.11.2011, 19:46	https://mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs!!! Der Winkel ADC ist nur dann gleich groß wie Winkel ACD, wenn ACD 360° groß ist. -> nach Axiom 8 eben, dass ADC größer als DCB sein muss, Da ADC=ganzes (360°) und DCB < 360°
10.11.2011, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]21856[/attach] Die mit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ bezeichneten Winkel sind als Basiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken jeweils gleich groß. Gleichschenkligkeit $\begin{eqnarray} CDA \end{eqnarray}$ zeigt: $\begin{eqnarray} \varphi_1 = \varphi_2 \end{eqnarray}$ (1. Winkelaussage) Beim Punkt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ sieht man: $\begin{eqnarray} \varphi_1 > \psi_1 \end{eqnarray}$ , also (Gleichschenkligkeit) auch $\begin{eqnarray} \varphi_2 > \psi_1 \end{eqnarray}$ (2. Winkelaussage) Beim Punkt $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ sieht man: $\begin{eqnarray} \psi_2 > \varphi_2 \end{eqnarray}$ , also auch (siehe 2. Winkelaussage) $\begin{eqnarray} \psi_2 > \psi_1 \end{eqnarray}$ (3. Winkelaussage) Das "umso mehr" würde ich in moderner Sprechweise als Kennzeichnung der Transitivität deuten: Wenn $\begin{eqnarray} \psi_2 \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} \varphi_2 \end{eqnarray}$ ist, was hinwieder größer als $\begin{eqnarray} \psi_1 \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} \psi_2 \end{eqnarray}$ "umso mehr" größer als $\begin{eqnarray} \psi_1 \end{eqnarray}$ . Der Widerspruch entsteht, weil $\begin{eqnarray} \psi_2 = \psi_1 \end{eqnarray}$ ist (4. Winkelaussage). Das habe ich gleich zu Anfang erwähnt, Euklid erwähnt die Gleichschenkligkeit von $\begin{eqnarray} CDB \end{eqnarray}$ erst jetzt. Wo ich geschrieben habe "Beim Punkt so und so sieht man", geht ein, daß das Ganze größer als ein Teil ist, hier auf einen Winkelvergleich bezogen. So stelle ich mir das jedenfalls vor. Aber ich bin kein Fachmann für die Interpretation antiker wissenschaftlicher Texte.
10.11.2011, 22:26	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da ich nur zu den "beschränkt masochistischen masochisten" gehöre, ein toller link zu euklid
Anzeige

11.11.2011, 07:57	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, Leopold! Ich werde mir alles heute abend noch einmal genauer ansehen, muß jetzt erst einmal ein bißchen arbeiten. Einen kleinen Schritt weiter war ich selber schon gekommen, da einige Seiten weiter hinten ein ähnlicher kleiner Gedankensprung benutzt wird. Ich schreib's hier nur mal mit Variablen auf: x = y - - - Das sieht man aus der Zeichnung. z > y - - - Das ist nicht unmittelbar ersichtlich. Man sieht aber, daß z > x ("Das Ganze ist größer als der Teil"), und da x = y, ist auch z > y. Somit war mir jetzt das, was du unter "2. Winkelaussage" schreibst, klar geworden. Den Rest werde ich auch noch schaffen! (Natürlich ist die Zeichnung insofern keine echte Hilfe, da sie ja einen falschen Sachverhalt darstellt und das mit dem "gleich" und "größer als" eben nicht wirklich dort ersichtlich ist. Das war und ist mir natürlich klar. Aber es verwirrt eben ein bißchen. ) Vielen Dank für die Hilfe! Vielen Dank auch an riwe für den Link! Zum Glück ist der Text dort nur englisch und nicht griechisch!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »