Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren

10.11.2011, 14:33

123454

Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren

Hallo,
ich habe als Aufgabe eine Funktion f1: R²->R², (x,y) -> (x+3, y-2)

Nun bin ich mir unsicher wie ich vorgehen soll.
Muss ich bei Injektivität gucken ob x1=x2 -> x1+3=x2+3? und das gleiche für y,
und wenns bei beiden hinhaut ist f1 injektiv?
Oder muss ich mein Tupel (x,y) irgendwie zusammenbetrachten?
Ich hoffe meine Frage ist klargeworden.

10.11.2011, 15:57

YogSothoth

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
Moin,

zunächst solltest du dir noch einmal genauer ansehen, was Injektivität bedeutet, denn wenn $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} g(x_1)=g(x_2) \end{eqnarray*}$ und das für jede Funktion g, nicht nur für Injektive.

Um auf deine Frage zurück zu kommen:
Hier werden die Tuple (x,y) betrachtet.

10.11.2011, 16:23

123454

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
Zur Injektivität:
wenn f(x)=3x ist, muss ich dabei ja f(x)=f(y) setzen und gucken ob x=y ist.
Also 3x=3y => x=y => Funktion ist injektiv.

Aber so funktioniert das ja nicht wenn ich f(x1,x2) hab...kann mir da jemand nur den ersten Anstoß geben? Soll gar keine Lösung sein, ich weiß nur nicht mal wie ich da anfangen soll ..

10.11.2011, 16:25

YogSothoth

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
ok
hier schaust du dir dann
$\begin{eqnarray*} f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$
an und prüfst, ob dann auch
$\begin{eqnarray*} (x_1,y_1)=(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$
gilt.

10.11.2011, 16:29

123454

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
Also kann ich das dann in 2 Schritte unterteilen, erst schau ich ob aus f(x1)=f(x2) folgt und aus f(y1)=f(y2) und beides der Fall ist ist die Funktion injektiv?

10.11.2011, 16:38

YogSothoth

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
das ist nicht nötig und im Allgemeinen auch nicht richtig, zumal $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, da f eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.
Betrachte einfach:
$\begin{eqnarray*} f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ und setze da mal die Definition von f ein. Dan überleg dir wann zwei Tuple gleich sind.

10.11.2011, 16:48

123454

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren
Also habe ich f(x1+3,y1-2)=f(x2+3,y2-2) und muss gucken wann die Tupel, die da rauskommen, gleich sind?
Das wäre da ja genau dann wenn (x1,y1)=(x2,y2) sind bzw wenn x1=x2 und y1=y2 ist.

Aber darf man da so rechnen?

10.11.2011, 17:00

YogSothoth

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RE: Injektivität/Surjektivität bei R² und Zahlenpaaren

Zitat:

Original von 123454
f(x1+3,y1-2)=f(x2+3,y2-2)

das rote f ist in deiner Gleichung fehl am Platz, in
$\begin{eqnarray*} (x_1+3,y_1-2)=(x_2+3,y_2-2) \end{eqnarray*}$
wurde ja bereits die Definition von f angewand.

Dann betrachtest du die Tuple. Diese sind gleich, wenn die einzelnen Einträge gleich sind, also hier, falls gilt:
$\begin{eqnarray*} x_1+3=x_2+3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y_1-2=y_2-2 \end{eqnarray*}$
Das "und" ist hierbei wichtig, es muss beides gelten, daher kann man das lösen auch nicht in die zwei Schritte aufteilen und erst nur $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} f(y_1) \end{eqnarray*}$ ansehen.

10.11.2011, 17:18

123454

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Okay danke das müsste ich jetzt haben.

Wenn ich nun folgende Funktion auf Injektivität überprüfen will:
f2: R²->R², (x1,x2) -> (x1 * x2, x1+x2)

Dann setzte ich die beiden Tupel gleich:
(x1 * x2, x1+x2)= (y1*y2, y1+y)

Da ich nun viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten habe, mein Tupel zu bilden, ist die Funktion also nicht injektiv, aber surjektiv (gilt dann noch zu beiweisen)?

Soweit alles richtig?

10.11.2011, 17:22

YogSothoth

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Dass du viele verschiedene Möglichkeiten hast dein Tuple zu bilden ist richtig, aber kein Beweis der nicht Injektivität, dazu gibst du am besten ein Gegenbeispiel an, d.h. zwei unterschiedliche Tuple mit gleichem Bild.
Die Funktion ist surjektiv, beim Beweis der surjektivität auch wieder darauf achten, dass du das Tuple als ganzes betrachtest.

10.11.2011, 17:48

12343

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Ein einfaches Gegenbeispiel wäre ja wenn man die beiden Tupel (2,1) und (1,2) betrachtet. Da kommt man auf das gleiche Bild bei unterschiedlichen Tupeln, daher ist die Funktion nicht injektiv.

Ich hoffe das stimmt und reicht als Beweis?
Dann versuche ich mich jetzt mal an der Surjektivität. Danke bisher für die Hilfe, sehr freundlich hier smile

10.11.2011, 17:50

YogSothoth

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genau, und das reicht als Beweis dafür, dass die Funktion nicht injektiv ist

10.11.2011, 18:05

12343

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Gleiche Aufgabe wie eben, diesmal Surjektivität:

f2: R²->R², (x1,x2) -> (x1 * x2, x1+x2)

zu zeigen ist, dass es für alle y e Y mindestens ein x e X gibt.
Also muss es ja für alle Tupeln im Bildbereich (x1 * x2, x1+x2) mindestens ein Tupel aus dem Definitionsbereich (x1,x2) geben.

Nun heißt das ja so viel wie, dass ich gucken muss ob der Umkehrfunktion von f2 wieder ein (x1,x2) Tupel zugeordnet wird.

Nur irgendwie steh ich grad mal wieder aufm Schlauch was ich machen muss ..

10.11.2011, 18:11

YogSothoth

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nimm dir ein Tuple $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
jetzt suchst du ein Tuple $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f_2(x_1,x_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

Dort kannst du dann die Definition von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

10.11.2011, 18:21

12343

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Wenn ich mir als (y1,y2) Tupel (1,2) auswähle, wäre das zugehörige (x1,x2) Tupel ja (1,1) und damit wäre die Gleichung auch erfüllt.

Aber das sagt ja noch nicht aus, dass es auch für alle anderen Tupel erfüllt wird (wobei es ja logisch ist da die Definitionsmenge R² ist und somit muss die Funktion ja fast schon surjektiv sein)

Ich muss bei der Surjektivität ja jetzt wieder ein Beispiel reinbringen was allgemeine Gültigkeit hat.

Wobei wenn ich mir jetzt als y-Tupel (2,2) aussuche, dann habe ich ja kein x-Tupel mit dem die Gleichung (x1*x2, x1+x2) = (2,2) erfüllt ist.
Wäre das ein Gegenbeispiel und die Funktion ist doch nicht surjektiv?

10.11.2011, 18:30

YogSothoth

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jo, hast recht, (2,2) ist ein Gegenbeispiel, die Funktion ist nicht surjektiv. Hatte ich übersehen, tut mir leid

10.11.2011, 18:35

12343

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Wenn sie denn jetzt surjektiv wäre, wie kann ich das denn beweisen?
Nichtsurjektivität kann man ja mit einem Gegenbeispiel darstellen, aber so muss ich ja auf irgend etwas allgemeingültiges kommen...und da weiss ich bei Tupeln echt nicht weiter.

Normal nimmt man ja die Umkehrfunktion und schaut ob das Ergebnis immer im Wertebereich liegt, bei der Funktion f(x)=x² muss man eben schauen ob die Wurzel von x im Wertebereich der Bildmenge liegt.

Aber bei Tupeln hab ich da noch keinen Überblick.

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