gleichmäßig stetig

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßig stetig
Hi!

Ich soll zeigen, dass zwei Funktionen und stetig sind. Es ist also zu zeigen:


Die erste Funktion lautet . Also setze ich mal ein:



So, nun scheiterts schon. Die eins kann ich ja ganz einfach wegschätzen, aber wie gehts weiter? Meine Abschätzungen waren entweder alle zu "brutal" gewesen, oeder hätten letztendlich nichts gebracht. Ich muss doch auf ein kommen, damit ich dort setzen kann.
Die zweite Funktion lautet:

. Also:



Gleiches Problem wie oben.

Würde mich echt freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Mit dieser Art des Beweises habe ich leider immer noch so meine Probleme traurig
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßig stetig
Zitat:
Original von vektorraum
Die zweite Funktion lautet:

. Also:



Vielleicht einfach hinschreiben:



Da geht jetzt natürlich Wissen über den Differenzenquotienten ein.

Grüße Abakus smile
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßig stetig
Danke für deine Hilfe!

Wenn ich jetzt weiter mache, dann ist also nun



Ist also gegeben. Dann wähle mit

Dann gilt also für alle :

für



Kann man das so machen??? Wie gesagt, bin ich mir bei solchen Abschätzungsbeweisen immer ziemlich unsicher.

Gibt es bei der ersten Funktion auch eine Art Trick, wie ich hier geschickt abschätzen könnte?

Vielen dank für eure Hilfe! Wink
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Bei gleichmäßiger Stetigkeit ist der Definitionsbereich entscheidend. Deine zweite Funktion zb. ist nicht auf ganz R gleichmäßig stetig.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@Marcyman: Stimmt denn der Beweis??? Aber stimmt, die Funktion ist nicht in ganz gleichmäßig stetig, sondern nur für ???
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßig stetig
Zitat:
Original von vektorraum
Wenn ich jetzt weiter mache, dann ist also nun



Ist also gegeben. Dann wähle mit


Das Delta musst du schon genau definieren und nicht irgendwie vage wählen. Schwierig ist hier noch, dass die x, y zunächst völlig beliebig sind. Bei einem Stetigkeitsbeweis setzt man eine der beiden Variablen als fest voraus, zusätzlich kannst du noch fordern und das in die Bedingung aufnehmen.


Zitat:
Gibt es bei der ersten Funktion auch eine Art Trick, wie ich hier geschickt abschätzen könnte?


Wenn du nur die Stetigkeit bei der ersten Funktion zeigen willst, folgt das als Spezialfall aus den Überlegungen zur zweiten Funktion ja sofort (du hast einen Term zu untersuchen, der im Nenner größer 1 ist und im Zähler denselben Ausdruck wie in der zweiten Aufgabe hat).

Wenn du die gleichmäßige Stetigkeit untersuchen willst, kannst du versuchen genauso abzuschätzen und dir dabei zusätzlich die Effekte des Nenners anschauen. Dadurch müsste sich die Abschätzung verbessern lassen. Aber das solltest du erstmal hinschreiben.

Grüße Abakus smile
 
 
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

vektorraum, ohne Angabe des Definitionsbereich lässt sich die Aufgabe nicht lösen, schreib' ihn doch bitte rein.


EDIT: Ich geh davon aus, dass du gleichmäßige Stetigkeit untersuchen willst. (In deinem ersten Post steht nur "stetig", obwohl du die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit angegeben hast und das auch der Threadtitel ist)
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Die funktionen sind definiert als Funktionen



Sorry, ich meine natürlich gleichmäßige Stetigkeit... Hab ich wohl oben vergessen nochmal hinzuschreiben.
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann ist die erste Funktion gleichmäßig stetig und die zweite nicht. Falls du ein Gefühl dafür kriegen willst, in welche Richtung man arbeiten sollte (dh. glm. Stetigkeit beweisen oder widerlegen), solltest du dir anschauen wie schnell die Funktionen gegen unendlich abhauen. Für gleichmäßige Stetigkeit darf es nicht zu schnell gehen. Bei x^2 zb. ist es bereits zu schnell.
Zur mathematischen Umsetzung der Anschauung helfen dann Mittelwertsatz (insbesondere wenn die Ableitung einer Funktion, falls existent, beschränkt ist) und andere Abschätzungen zb über Eigenschaften von konvexen bzw. konkaven Funktionen.
jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die 1. Funktion kann man an die Abschätzung so rangehen - weil man ja voraussetzt -, dass . Und oberhalb des Bruchstrichs y gegen , unterhalb des Bruchstrichs gegen abschätzen, ggf. noch weitere Einsen weglassen (bzw. -1 überm Bruchstrich) und am Ende kann man dann wenn man sich noch überlegt, dass und das unterm Bruchstrich steht, weglassen...

Bei will man ja das gegenteil beweisen, wenn man die Quantoren entsprechend umkehrt kann man dann ein wählen, sagen wir 1, "bekommt" ein und wählt sich dann ein x, so dass die Funktionswerte größergleich 1 sind (unserem . Um das x zu bestimmen muss man am Ende die Gleichung nach x umstellen, wobei das x dann noch von y abhängt, wo ich mir mittlerweile nicht mehr ganz sicher bin, ob das koscher ist.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr dürft doch sicherlich den Mittelwertsatz benutzen?

Leite doch einfach mal die Funktion ab. Dann steht es ja schon fast da, denn wenn ich mich nicht vertan habe, lautet die Ableitung:

und dies ist vom Betrag her kleiner gleich . Kommst du da auch drauf?

Für die zweite Funktion fällt mir jetzt nichts wirklich schönes ein, aber die Idee von jol2040 klingt gut, auch wenn ich sie jetzt so in reiner Textform nicht nachvollziehen kann.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Danke für eure Hilfe! Eure Ideen hören sich alle gut an, hab versucht das Beste draus zu machen Augenzwinkern Musste nämlich heute abgeben - mal sehen was mit meinem Beweis passiert...
@Schmonk: Danke, Mittelwertsatz haben wir aber noch nicht gehabt - zumindest nicht bei dem Prof Wink
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@Schmonk

Naja,den Mittelwertsatz muss man ja nicht unbedingt ins Spiel bringen. Wenn die Differenzierbarkeit vorausgesetzt wird, dann kann man ja einfach sagen, dass die Ableitung beschränkt ist. Damit wäre die Funktion Lipschitz stetig und damit auch gleichmäßig stetig. Der Weg ist oft angenehmer als Abschätzungen vorzunehmen, vorausgesetzt es liegt Lipschitz-Stetigkeit vor
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Für die zweite: für konvexe Funktionen gilt



(lässt sich leicht herleiten)

und somit für



Wähle nun , ,

dann gilt

aber
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