Stetigkeit der Cantor-Funktion

10.11.2011, 21:25

Linara

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Stetigkeit der Cantor-Funktion

Sei C die Cantor Menge ( siehe hier ). Dann lässt sich x in C ja darstellen als:

$\begin{eqnarray*} x = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{3^n} \end{eqnarray*}$

Setze nun

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_i}{2^{i+1}} \end{eqnarray*}$

Das steht so auf dem Übungszettel - das halte ich aber jetzt schon für nicht richtig, sondern müsste ja mal mindestens irgendwas mit dem n zu tun haben, etwa:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Oder irre ich mich jetzt schon?

Jetzt betrachte man (C, dc) als metrischen Teilraum von R und ich soll folgern, dass mein so definiertes f stetig ist mit

$\begin{eqnarray*} d_c(x,y) = | x - y | \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist ja noch gegeben, dass man Epsilon der Form

$\begin{eqnarray*} 2^{-n} = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

betrachten soll.

Das sieht mir klar nach epsilon delta Kriterium aus, womit wir das machen sollen , aber ich verstehe überhaupt nicht wie genau das funktionieren soll ...

$\begin{eqnarray*} |x-y| = | \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^k \frac{s_n}{3^n} |= | \sum\limits_{n=k+1}^\infty \frac{s_n}{3^n} | = ... ? \end{eqnarray*}$

Am liebsten hätte ich ja dann, dass hier sowas wie ..

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

für mein Delta und sowas wie

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$ (ist ja in dem Hinweis gegeben)

für Epsilon steht, aber ich weiß nicht genau, wie ich da hinkomme bzw. ob ich mit meinen Überlegungen überhaupt richtig bin.

11.11.2011, 01:02

juffo-wup

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Du musst dir überlegen, dass wenn x und y nah beieinander liegen, die Stellen $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ bei x und y bis zu einem vorgegebenen k gleich sein müssen. Damit kannst du dann $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ abschätzen.

11.11.2011, 17:47

Linara

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Einschub zu oberem Post:
$\begin{eqnarray*} s_n , t_n \in \left\{ 0,2 \right\}^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$

Habe ich die Überlegung nicht schon so ähnlich in der Abschätzung bzw. dem Anfang dafür oben bei |x-y| verbraucht?

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = | \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{2^{n+1}} - \sum\limits_{n=1}^k \frac{t_n}{2^{n+1}} | = ... ? \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz schon mal grundsätzlich richtig oder liege ich daneben?

11.11.2011, 18:00

juffo-wup

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RE: Stetigkeit der Cantor-Funktion

Zitat:

Original von Linara
$\begin{eqnarray*} |x-y| = | \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^k \frac{s_n}{3^n} |= | \sum\limits_{n=k+1}^\infty \frac{s_n}{3^n} | = ... ? \end{eqnarray*}$

Du kannst dich ja nicht nur auf y beschränken, die schon so wie du geschrieben hast aussehen. Das einzige, was du über y voraussetzen kannst, ist dass es in einer Delta-Umgebung von x liegt. Daraus jetzt wirklich noch einzeln zu beweisen, dass für Delta klein genug x und y in den ersten k Stellen übereinstimmen, um das wirst du wohl nicht herumkommen.

11.11.2011, 18:38

Linara

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Dann verstehe ich überhaupt nicht mehr, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, denn ich weiß nämlich eigentlich nicht, wie ich zeigen soll, dass die x und y in den ersten k Stellen übereinstimmen..

11.11.2011, 19:04

juffo-wup

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Ansatz: Angenommen sie stimmen nicht in den ersten k Stellen überein. Sei $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ die minimale Stelle, bei der sie sich unterscheiden. Dann $\begin{eqnarray*} |x-y|=\left|\frac{s_{k_1}-t_{k_1}}{3^{k_1}}+\sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right|\geq ... \end{eqnarray*}$

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11.11.2011, 19:54

Linara

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Also, die x und y sind ja jeweils nur aus 0en und 2en aufgebaut und wenn sie an $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ nicht übereinstimmen, dann muss ja entweder $\begin{eqnarray*} s_{k1} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{k1} = 0 \end{eqnarray*}$ oder eben umgekehrt.

Deshalb muss ja

$\begin{eqnarray*} s_{k1} - t_{k1} = \pm 2 \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass so langsam bei ein ungefähres Gefühl bei dieser Aufgabe, aber ich weiß immer noch nicht so Recht wie ich das Ding nach unten abschätzen soll - im schlechtesten Fall wäre ja

$\begin{eqnarray*} s_{k1} - t_{k1} = - 2 \end{eqnarray*}$

Und damit wäre dann:

$\begin{eqnarray*} |x-y| = \left| \frac{s_{k1}-t_{k1}}{3^{k1}} + \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right|\geq \left| \frac{-2}{3^{k1}} + \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right| \geq ... ? \end{eqnarray*}$

Ist dieser Schritt denn schon mal ein wenig in die Richtung, in die wir wollen?

11.11.2011, 20:23

juffo-wup

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So kannst du nicht abschätzen, weil nicht bekannt ist, ob der Betrag der Gesamtsumme kleiner oder größer wird, wenn du -2 einsetzt. (der zweite Summand kann ja auch negativ sein)
Benutze statt dessen die (Dreiecks-)Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a+b|\geq |a|-|b| \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 20:56

Linara

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Oh, dass der 2.te Summand auch negativ sein könnte, hatte ich gar nicht bedacht - stimmt..

$\begin{eqnarray*} |x-y| = \left| \frac{s_{k1}-t_{k1}}{3^{k1}} + \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right|\geq \left| \frac{s_{k1}-t_{k1}}{3^{k1}} \right| - \left| \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right| \geq ... \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie werde ich aus dem letzten Ausdruck immer noch nicht schlau..

11.11.2011, 21:34

juffo-wup

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Was ist der 'schlimmste' Fall der eintreten kann (und den Betrag der rechten Summe am größten macht)?

11.11.2011, 21:47

Linara

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Das müsste doch der Fall sein, wenn

$\begin{eqnarray*} | s_n - t_n | = 2 \end{eqnarray*}$ ..

Denn die Summanden wo $\begin{eqnarray*} s_n = t_n \end{eqnarray*}$ interessieren ja in dem Falle nicht, da die Differenz dieser Null und folglicih dieser Summand auch gleich 0 wäre..

Wenn ich das jetzt für alle n ab diesem $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ mir überlege, dass die Differenz 2 wäre, dann wäre ja..

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{s_n-t_n}{3^n}\right| = \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{2}{3^n} = 2 * \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 22:03

juffo-wup

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Soweit richtig.

11.11.2011, 22:31

Linara

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Hm, dann rechne ich mal einfach weiter:

Zuerst verwende ich die geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k_1 +1}^\infty \frac{1}{3^n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} - \sum\limits_{n=0}^{k_1} \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$

Für die letzte Summe kann ich ja die endliche Partialsumme berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k_1} \frac{1}{3^n} = \frac{3}{2} * (1- (\frac{1}{3})^{n+1})<br /> = \frac{3}{2} - \frac{1}{2*3^{n}} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k_1 +1}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac{3}{2} - ( \frac{3}{2} - \frac{1}{2*3^{n}}) = \frac{1}{2*3^{n}} \end{eqnarray*}$

Da steht dann noch der Faktor 2 aus, also ist das ganze aus dem letztem Beitrag von mir

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

Das andere ist im Betrag:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3^{k1}} \end{eqnarray*}$

Dann würde jetzt da mehr oder weniger folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3^{k1}} - \frac{1}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 22:47

juffo-wup

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Du hast dich wohl verschrieben mit dem n, was sollte das denn sein. Die Rechnung ist aber sonst richtig und es kommt also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3^{k_1}}-\frac{1}{3^{k_1}} \end{eqnarray*}$ heraus.

11.11.2011, 23:17

Linara

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Natürlich - das liegt daran, weil ich die Rechnung vorher auf einen Schmierzettel übertragen habe und dort irgendwie mich verschrieben habe..^^

Das Ergebnis sagt uns doch nun, dass wenn ich überhaupt $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen kann, dass mein y in einer gewissen Umgebung von x liegt und das sie somit in gewissen Stellen bis ein bestimmtes zu einer bestimmten Stelle gleich sind.

Aber ich bin mir irgendwie da gerade nicht so sicher oder ob ichs nur falsch formuliere..

Wenn nun meine x und y also bis zu einer bestimmten Stelle gleich sind, dann sind sind sie auch unter $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ gleich, denn die Funktion bildet ja (umgangsprachlich) 0 auf 0 und 2 auf 1 ab. (Hier wird jetzt aber nicht berücksichtigt, was mit einer 1 passiert, allerdings hat mein $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ auch keine 1 irgendwo (nach Definition im 2.ten Beitrag oder so)... )

Begr:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{2^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{s_n}{2}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

und die "Zahl" $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ besteht ja nur aus 0en und 2en, also praktisch vom ternären System ins Binäre..

12.11.2011, 00:16

juffo-wup

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Zitat:

Original von Linara
Das Ergebnis sagt uns doch nun, dass wenn ich überhaupt $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen kann, dass mein y in einer gewissen Umgebung von x liegt und das sie somit in gewissen Stellen bis ein bestimmtes zu einer bestimmten Stelle gleich sind.

Aber ich bin mir irgendwie da gerade nicht so sicher oder ob ichs nur falsch formuliere..

Das ist noch etwas ungenau, für einen formalen Beweis der Stetigkeit müsstest du ja sagen können, wie zu einem vorgegebenen Epsilon das Delta zu wählen ist.
Wir hatten $\begin{eqnarray*} |x-y|\geq \frac{1}{3^{k_1}} \geq \frac{1}{3^k} \end{eqnarray*}$ falls x und y nicht in den ersten k Stellen übereinstimmen. Daraus lässt sich schon entnehmen wie man bei der Wahl von Delta ansetzen sollte. Natürlich braucht man dafür auch noch Information über |f(x)-f(y)| und da gehst du hiermit schon in die richtige Richtung:

Zitat:

Wenn nun meine x und y also bis zu einer bestimmten Stelle gleich sind, dann sind sind sie auch unter $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ gleich, denn die Funktion bildet ja (umgangsprachlich) 0 auf 0 und 2 auf 1 ab. (Hier wird jetzt aber nicht berücksichtigt, was mit einer 1 passiert, allerdings hat mein $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ auch keine 1 irgendwo (nach Definition im 2.ten Beitrag oder so)... )

Begr:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{2^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{s_n}{2}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

und die "Zahl" $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ besteht ja nur aus 0en und 2en, also praktisch vom ternären System ins Binäre..

12.11.2011, 01:02

Linara

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Wäre das dann nicht einfach die Negation?

$\begin{eqnarray*} | x - y | < \frac{1}{3^{k_1}} < \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$ (wenn x und y bis zur Stelle $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ identisch sind - oder verhaspel ich mich da gerade ganz böse?)

für $\begin{eqnarray*} n > k_1 \end{eqnarray*}$ und identisch bis einschließlich der Stelle n?

Könnte man denn nicht prinzipiell bei

$\begin{eqnarray*} |f(x) - (y)| \end{eqnarray*}$

auf ähnliche Weise argumentieren?

12.11.2011, 06:43

juffo-wup

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Schon wieder ein seltsames n. verwirrt

verwirrt

Also die Richtung, die wir gezeigt haben, ist : Wenn |x-y|<1/3^k, dann stimmen sie bis zur k-ten Stelle überein.
Jetzt musst du eben noch zeigen, dass daraus dann folgt, dass |f(x)-f(y)| klein ist, mit dem Ansatz den du schon genannt hast und, ja auf sehr ähnliche Weise.

12.11.2011, 17:51

Linara

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Angenommen, $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ stimmen nicht an den ersten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Stellen überein. Sei $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ die minimale Stelle, an der sie sich unterscheiden.

Dann:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = \left|\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^{k_1}}+\sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^n}\right|\geq \left|\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^{k_1}} \right| - \left| \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^n} \right| \geq \frac{1}{2^{k_1}} - \frac{1}{2^{k_1}} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie glaube ich , dass da ein Fehler drin liegt..

13.11.2011, 02:52

juffo-wup

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Moment, du kannst doch jetzt davon ausgehen, dass x und y in den ersten k Stellen übereinstimmen - das folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-y|<\frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$
Für Stetigkeit musst du doch zeigen: Wenn x und y nah genug beieinanderliegen (hier: $\begin{eqnarray*} |x-y|<\frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$ ), dann ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ (hier nach Tipp in der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} \varepsilon=2^{-n} \end{eqnarray*}$ )
Es geht jetzt darum, |f(x)-f(y)| nach oben abzuschätzen.

13.11.2011, 13:10

Linara

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$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = \left|\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^{k_1}}+\sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^n}\right|\leq \left|\frac{\frac{s_{k1}}{2} - \frac{t_{k_1}}{2}}{2^{k_1}} \right| + \left| \sum_{n=k_1+1}^{\infty}\frac{\frac{s_{k1}}{2}-\frac{t_{k_1}}{2}}{2^n} \right| \leq \frac{1}{2^{k_1}} + \frac{1}{2^{k_1}} = \frac{1}{2^{k_1 - 1}} \end{eqnarray*}$

Oder setze ich hier schon mit dem falschen Ausdruck nach dem = an ? Ich habe jetzt hier

$\begin{eqnarray*} |a+b| \leq |a| + |b| \end{eqnarray*}$

verwendet? Und wenn ich jetzt überlege, dass ich mit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n}{2^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{s_n}{2}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

habe, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq | ... | \leq \frac{1}{2^{k_1}} \end{eqnarray*}$

13.11.2011, 19:21

juffo-wup

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Die Abschätzung ist schon richtig im Prinzip, aber wir wollten doch voraussetzen, dass x und y an den ersten k Stellen gleich sind. Falls du den Ansatz noch nicht verstanden hast, würde ich dir raten dir nochmal zu überlegen warum man so Stetigkeit zeigen kann.
Also hat man dann $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ für solche x,y.
(Letztlich ist es natürlich egal wie genau man abschätzen kann, es reicht ja dass |f(x)-f(y)| irgendwie klein wird, wenn |x-y| klein wird.)

Ist damit jetzt alles klar geworden?

13.11.2011, 19:42

Linara

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Ich werde nochmal genau drüber nachdenken, warum man das so machen kann und mir dann das ganz nochmal nachvollziehen - aber zuerst schreibe ich mir das nochmal vernünftig auf.

Jedenfalls vielen Dank für deine Unterstützung in diesem Falle smile

smile

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