Elementarmatrizen mit einigen Behauptungen

10.11.2011, 22:29

chi

Elementarmatrizen mit einigen Behauptungen

Meine Frage:
Wir betrachten die N x N Elementarmatrizen $\begin{eqnarray*} Z^{m,n}(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq m,n\leq N, m\neq n \end{eqnarray*}$ . Welche der
folgenden Behauptungen gelten?
Für alle $\begin{eqnarray*} c_{m,n}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i:=1\leq m,n\leq N, m\neq n \end{eqnarray*}$ gilt:

(1) $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{m,n}(\varepsilon))^{-1} = \sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{m,n}(-\varepsilon) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{m,n}(\varepsilon))^{T} = \sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{n,m}(\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erst mal wollte fragen, ob ich das hier richtig gedeutet habe:
Bei diesen Multiplikationen handelt es sich um die üblieche Matrixmultiplikation, mit der Ausnahme, dass die Diagonalen der beiden Matrizen in der Multiplikation weggelassen wird. Ein Beispiel:
Definiere: $\begin{eqnarray*} C:=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{33} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} & Z^{1,2}(\varepsilon):=\begin{pmatrix} 1 & \varepsilon & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{1,2}(\varepsilon)=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{33} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \varepsilon & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & c_{12}\varepsilon & 0 \\ 0 & c_{21}\varepsilon & 0 \\ 0 & c_{31}\varepsilon & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bin aber nicht sicher ob man das in Matrixschreibweise machen darf, da ja die Diagonolen während Multipl. weggelassen werden. Hab ich das denn überhaupt richtig gedeutet?
Nun zu meinen Ideen:
Wenn ich ich das richtig gedeutet habe, gelten beide Behauptungen nicht.
Beides würde ich mit Gegenbeispielen widerlegen können. Wäre ich dann schon fertig?

11.11.2011, 14:11

chi

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RE: Elementarmatrizen mit einigen Behauptungen
Hat keiner ne Idee?
Also die Gegenbeispiele würde ich so ähnlich machen, die Frage ist nur, ob ich das alles richtig gedeutet habe.

12.11.2011, 13:59

Fritz123

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RE: Elementarmatrizen mit einigen Behauptungen
(1) $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{m,n}(\varepsilon))^{-1} = \sum\limits_{k=i} c_{m,n}Z^{m,n}(-\varepsilon) \end{eqnarray*}$

zu (1) ich verstehe das so ,dass man c1,1 mit z1,1 multipliziert und mit c1,2 * z1,2 adiiert usw. also:

c1,1*z1,1+.....+cm,n*zm,n

der Term in der Klammer ergibt also eine Summe aus den Multiplizierten Einträgen von Z und C. und die Behauptung ist das diese summe Invertiert gleich der Summe auf der rechten seite ist.

liege ich da richig? ich hoffe das ist verständlich.

12.11.2011, 14:06

Fritz123

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RE: Elementarmatrizen mit einigen Behauptungen

Zitat:

Original von chi

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{33} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \varepsilon & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & c_{12}\varepsilon & 0 \\ 0 & c_{21}\varepsilon & 0 \\ 0 & c_{31}\varepsilon & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber nicht richtig multipliziert?

14.11.2011, 13:27

muhkuh124

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Hat hier jemand vll noch ein paar Tipps? Oder die Lösung, damit ich das wenigstens nachvollziehen kann?

14.11.2011, 17:14

Habuko

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Ich würde mich auch über eine Hilfe bei dieser Aufgabe freuen, hänge ebenfalls daran

14.11.2011, 20:59

LoBi

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Die 1. lässt sich denke ich mit einem Gegenbeispiel widerlegen. Wenn ich $\begin{eqnarray*} c_{m_{n}}=0 \end{eqnarray*}$ wähle ist die Matrix sogar noch nichtmal invertierbar.

Bei der 2. nutzt man wohl am besten die Darstellung $\begin{eqnarray*} Z^{m,n}=I+E_{m_{n}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß

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