Lebesque nullmenge, stetig diffbare fkt, ableitung null

12.11.2011, 04:51	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesque nullmenge, stetig diffbare fkt, ableitung null Beweisen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \{f(x)\|x \in A\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = \{x \in \mathbb{R} \| f'(x) = 0\} \end{eqnarray}$ für eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine Lebesguesche Nullmenge ist. Erste frage: ist es denkbar, dass diese Menge überabzählbar ist? Die Menge ist auf jeden fall Vereinigung von einelementigen Punktmengen allerdings weiß ich nicht wie zeigen, dass sie Nullmenge ist, falls die Vereinigung überabzählbar (da ich dann ja keine Sigma additivität verwenden kann) Ich freue mich auf eure Tips Gruß TR
12.11.2011, 06:39	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal habe ich für dich ein Beispiel, bei dem diese Menge überabzählbar ist: Sei C die Cantormenge und $\begin{eqnarray} f:[0,1]\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x):=\inf\{ \|x-y\| \,\|\, y\in C\}. \end{eqnarray}$ Dann ist f nichtnegativ und stetig und genau bei C Null und die Integralfunktion $\begin{eqnarray} F(x):=\int_{0}^x f(t)dt \end{eqnarray}$ ist daher streng monoton steigend und erfüllt das Gewünschte. (auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}\setminus [0,1] \end{eqnarray}$ einfach z.B. konstant fortgesetzt.) Als Tipp zur eigentlichen Aufgabe: Sieh dir Intervalle an, auf denen f' nicht unbedingt Null, aber klein ist und schließe mit Hilfe des Mittelwertsatzes auf die Menge der möglichen Funktionswerte von f dort.
12.11.2011, 20:13	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich seh irgendwie überhaupt nicht was mir der mittelwertsatz bringen soll
13.11.2011, 02:57	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte ein Intervall [a,b], auf dem \|f'(x)\| kleiner als $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ist. Dann ist doch nach MWS $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|\leq (b-a)\varepsilon \end{eqnarray}$ für je 2 Punkte x,y im Intervall. Also ist das Maß von $\begin{eqnarray} f([a,b]) \end{eqnarray}$ kleiner gleich $\begin{eqnarray} 2(b-a)\varepsilon. \end{eqnarray}$ Das ist eine Betrachtung nur für ein Intervall, aber es lässt sich die offene Menge $\begin{eqnarray} f'^{-1}(B_{\varepsilon}(0)) \end{eqnarray}$ (wie jede offene Teilmenge von IR) als disjunkte Vereinigung abzählbar vieler solcher Intervalle schreiben.
13.11.2011, 17:03	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das einzige was mir nicht klar ist, ist warum (bzw. wie) man eine belibige offene Menge durch abzählbar disjunkte vereinigung von abgeschlossenen Intervallen darstellen kann. Müssten die intervalle nicht offen sein?
13.11.2011, 19:25	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich schlecht formuliert. Du kannst sie als Vereinigung von offenen beschränkten Intervallen schreiben, aber das Argument dann auf die entsprechenden abgeschlossenen Intervalle anwenden. Bedenke auch, dass $\begin{eqnarray} f'^{-1}(B_{\varepsilon}(0)) \end{eqnarray}$ nicht notwendig beschränkt zu sein braucht, das muss im Beweis auch irgendwie verarztet werden.
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14.11.2011, 00:58	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
nach genauerem betrachten liefert mir der mittelwertsatz nur das die Gleichung für die Randpunkte a,b gilt aber nciht für belibige x,y aus dem Intervall womit danach das maß nicht mehr abschätzen kann.
14.11.2011, 02:44	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst den MWS doch auch auf 2 Punkte im Innern des Intervalls anwenden.

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