Charakteristik einer Matrix

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Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristik einer Matrix
Meine Frage:
Hallo Freunde der Mathematik!
Wir sollen folgende Aufgabe lösen
[attach]21878[/attach]

Meine Ideen:
Ich kann mir unter der Charakteristik einer Matrix einfach nichts vorstellen. Und auch bei der üblichen Matrixaddition-und multipilikation weiß ich nicht mit welcher Matrix ich addieren/multiplizieren soll.
Hilfe!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Klärung.
Du sollst nicht die Charakteristik einer Matrix bestimmen, sondern die des angegebenen Matrizenkörpers. Wie ist die Charakteristik eines Körpers definiert?

tigerbine out.
Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zur Klärung.
Die Charakteristik eines Körpers ist das kleinste n für das gilt: die Addition von 1+..+1 (n-mal) = 0. Das ist entweder 0 oder eine Primzahl.
Der angegebene Matrizenkörper hat ja 3 verschiedene Elemente a,b, und a+b. Wieso hat er denn mit der üblichen Addition bzw Multiplikation auf einmal 4? und Wenn hätte er dann nicht 5? also a+a,b+b,a+b,a,b ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zur Klärung.
Der Matrizenkörper hat Matrizen als Elemente. a,b sind Einträge der Matrizen.Da wir endlich sind und die Eintragsmöglichkeiten ebenfalls endlich sind, wie sehen denn die Elemente des Körpers aus?



usw. Wie sehen die anderen 3 aus? Wie sieht die Additionstabelle, Multiplikationstabelle aus?
Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo ok. Dann gibt es also für a und b die möglichkeiten:
(1)a=b=0
(2)a=b=1
(3)a=1,b=0 oder umgekehrt

zusammen mit der Matrixaddition, bzw Multiplikation komme ich dann aber auf 5 Elemente, nämlich:

0,1,2,3,4

die 1 und 2 folgen aus (3)+(3), die 3 kommt hinzu bei (2)*(2) und die 4 erhält man bei (2)+(2)

oder wird die Null als Element nicht mitgezählt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeige mir mal deine 5 Matrizen.
 
 
Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »

ok.....
1. a=b=1
+= ist die mit der 4.

*= ist die mit der 3.

2.a=1,b=0
+= ist die mit der 0.

Die 1 und die 0 sind ja in den Ausgangsmatrizen als a und b ...

Mehr brauch ich ja nicht zeigen, jetzt haben wir ja schon 5 statt 4 Elemente..0,1,2,3,4 sind alle in den Matrizen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast missachtet, dass sich hier alles modulo 2 abspielt. Wir haben für a, b jeweils die Möglichkeit 0 oder 1. Es gibt in der Matrix aber nur 2 Felder der 4, die wirklich frei wählbar sind. Also 4 Möglichkeiten.

a=b=0.


a=1,b=0


a=0,b=1


a=1,b=1


Diese solltest du nennen, und nicht irgendwas addieren....
Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay danke! Aber was hab dass dann mit der üblichen Matrixaddition und Multiplikation zu tun ? Und char F ist dann 0?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir nur die Elemente des Körpers genannt. Aber zu einem Körper gehört auch + und * und wie das gehen soll. Daher

Zitat:
mit der üblichen Matrixaddition und Multiplikation


So, nun begründe welche Charakteristik der Körper hat.
Oskar90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe sämtliche Möglichkeiten ausprobiert und es gibt nur diese 4 Elemente in dem Körper, also auch durch Multiplikation und Addition untereinander kommen nicht mehr raus. Addition und Multiplikation haben jeweils Inverse und neutrale Elemente. Aber nochmal eine Frage zur Charakteristik: Die kann doch entwerder 0 oder eine Primzahl sein. Da wir aber in dem Körper 4 Elemente haben, müsste die Charakteristik doch 4, da das aber nicht geht, 0 sein oder hab ich da einen denkfehler?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat die Char denn mit der Elementzahl zu tun?

Zitat:
Die Charakteristik eines Körpers ist das kleinste n für das gilt: die Addition von 1+..+1 (n-mal) = 0. Das ist entweder 0 oder eine Primzahl.
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