gruppe selbstinverses element bsp |
| 12.11.2011, 12:48 | kosa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| gruppe selbstinverses element bsp ich habe folgende aufgabe erhalten: Sei (G, *) eine Gruppe mit neutralem Element e, so dass x*x =e für alle x € G. a) Geben Sie ein Beispiel für eine solche Gruppe an, bei dem G mehr als zwei Elemente besitzt. b) Zeigen Sie: Jedes solche (G,*) ist abelsch. Meine Idee: zu a) könnte die Funktion von C x C -> C (komplexe Zahlen), f: a + i*b -> a - i*b eine solche Abbildung sein? Kann man den Körperhomomorphismus hier anwenden? |
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| 12.11.2011, 16:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Idee ist nicht gut, weil du mit f:C->C keine Verknüpfung auf C hast. Du hast nur versehentlich f:CxC->C geschrieben. |
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| 13.11.2011, 10:46 | kosa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm, was kann ich sonst als Beispiel nehmen? obwohl ich glaube die Teilaufgabe b) machen kann, bekomme ich kein Bsp auf die Reihe.. x) wäre meine Bearbeitung bzgl b) korrekt? -> Vor.: sei (G, *) Gruppe mit neutralem Element e = x*x für x € G Beh.: (G, *) ist abelsch. Bew.: z.z. x*y = y*x Gilt für ein x € G die Gleichung x*x =e , so gilt insbesondere auch (x*y)*(x*y)=e => (durch Addition von y von rechts und aufgrund Assoziativität in Gruppe G): x*y*x = y . Addiert man nun noch x von rechts => x*y = y*x nun wie komme ich aber auf ein Bsp? :-P |
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| 13.11.2011, 11:15 | fleurita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hast du schon mal von der klein`schen vierergruppe gehört? |
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| 13.11.2011, 11:49 | kosa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein leider nicht.. was ist das? |
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| 13.11.2011, 11:55 | fleurita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich sag dir mal soviel: du hast die elemente a,b,c und e. e ist das neutrale element wie bei dir oben. dann musst du noch hinschreiben, dass eins der 3 elemente mit e veknüpft immer das element selber wieder ergibt. also: , analog die anderen beinden buchstaben b und c. 2 nicht-neutrale elemente sollen jeweils den verbliebenen buchstaben ergeben, also so: usw 
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| 13.11.2011, 14:30 | kosa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber hab ich dann a*a = b*b = c*c = e auch drinnen? in etwa so eine verknüpfungstabelle.? * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e (wobei die erste zeile und spalte jeweils die angaben sind) sieht logisch aus..
und das kann ich so als beispiel lassen (die verknüpfungstabelle) für eine Gruppe (G,*) mit neutralem e = a*a, die mehr als zwei Elemente besitzt? |
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| 13.11.2011, 16:39 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Kleinsche Vieregruppe ist schon ein gutes Beispiel. Noch einfacher ist eine Gruppe mit ein oder zwei Elementen. Auch in diesen ist x*x=e. |
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| 13.11.2011, 16:44 | Tabula-Rasa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die kleinsche Vierergruppe dürfte schon die einfachste Lösung sein |
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| 13.11.2011, 22:28 | Saskiaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, würde es nicht reichen e,a und b zu nehmen, dann hat man ja auch mehr als 2 Elemente? Also: * e a b e e a b a a e a b b a e a*b bzw. b*a wäre in dem Fall egal ob =a oder gleich =b Wäre das falsch? |
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| 13.11.2011, 22:32 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Tabelle beschreibt keine Gruppe, in der zweiten Zeile kommt kein b vor. |
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| 13.11.2011, 22:37 | Saskiaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss in einer Verknüpfungstabelle einer Gruppe jedes element in jeder Zeile vorkommen? |
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| 13.11.2011, 22:41 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Betrachten wir mal am Beispiel deiner tabelle was schiefläuft wenn nicht. Laut Tabelle gilt: e*a=a=b*a Multiplizieren wir an die Gleichung von rechts das Inverse von a (existiert da es eine Gruppe sein soll) so gilt e=b, was falsch ist. |
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| 13.11.2011, 22:48 | Saskiaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay macht Sinn, danke
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| 14.11.2011, 01:39 | Tabula-Rasa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dies liegt übrigens daran, das die Ordnung eines Elementes (also wie oft muss man es mit sich selbst verknüpfen damit das neutrale Element herauskommt) die Gruppenordnung teilen muss (Anzahl der Gruppenelemente) ein Element mit a*a=2 hat also ordnung 2 das heißt eine Gruppe die solche Elemente enthält muss gerade Ordnung haben. |
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| 14.11.2011, 20:18 | Saskiaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat jemand noch einen Tipp wie ich bei der kleinschen Vierergruppe am schnellsten zeigen kann, dass diese assoziativ ist (sieht man ja nicht durch Verknüpfungstabelle)? Oder müsste ich jede mögliche Kombination von 3 Elementen nachprüfen? Grüße |
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