Volumen Zylinder geschnitten mit exp(x^2+y^2)

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governet Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen Zylinder geschnitten mit exp(x^2+y^2)
Hallo,

Folgende Aufgabe:

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sei um die z-Achse ein gerader Kreiszylinder mit dem Radius a gegeben. Aus diesem schneiden die xy-Ebene und die durch die Gleichung
f(x,y) = exp() gegebene Fläche einen Körper heraus. Man berechne das Volumen dieses Köpers!
(Hinweis: Polarkoordinaten)

Ich hoffe jemand weiß wie man diese Aufgabe lösen könnte. Ich denke mal mit einem Doppel- oder Dreifachintregral, aber ich weiß echt nicht wie ich da rangehen soll.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo governet,
wenn Du die Funktion f über die Grundfläche des Zylinders integrierst sollte das Volumen herauskommen. Dieses Integrieren über einen Kreis geht halt leichter, wenn Du die Funktion in Polarkoordinaten hast.
gruß
mathemaduenn
 
 
governet Auf diesen Beitrag antworten »

Das war mir ja eigentlich klar, dass ich über der Grundfläche Integrieren muss, das Problem ist ja, dass der Zylinder durch die Ebene exp(x^2+y^2) geschnitten wird. Ist aber keine Parallele zur x,y-Ebene, somit ist also die Höhe des Zylinders variabel. Wenn die Höhe konstant wäre, könnte man das ja leicht so machen, wie du es beschrieben hast. Eine andere Frage die sich mir stellt ist folgenden: Muss exp(x^2+y^2) auch in polarkoordinaten umgwandelt werden, und wenn ja, wie?

Gruß Governet
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo governet,
verstehe nicht so ganz was dir unklar ist deshalb

das meinte ich und da kommt auch das Volumen dieses Körpers raus.
und ja(x=rcos(phi);y=rsin(phi)).

Viel Spaß beim integrieren
mathemaduenn
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Das Flächenelement ist , deshalb ist das Volumen gegeben durch



Dabei ist .

Siehe dazu auch http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=4624
governet Auf diesen Beitrag antworten »

OK danke euch beiden ich glaub ich habs jetzt:

Die funktion in Polarkoordinaten müßte dann so aussehen:



Da

ist sie nun:



und somit das Integral:



Nach partieller Integration und einsetzen der Grenzen müßte jetzt folgendes Integral entstehen:



Nach erneutem Integrieren und einsetzen müßte nun das als Ergebnis rauskommen:

bzw.


Ich hoffe mal das ich alles richtig gemacht habe.

Gruß governet
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von governet
[...]somit das Integral:



Ja, das sieht richtig aus.

Zitat:
Nach partieller Integration und einsetzen der Grenzen müßte jetzt folgendes Integral entstehen:
[...]


Da hast du dich leider vertan.
Hier solltest du besser r^2 = u substituieren, um das innere Integral zu bestimmen.
governet Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich sehe hab ich sowieso in der Partiellen Integration nen Fehler gemacht.

nach formel

mit u'(r) = und u(r) =
und
v(x) = r und v'(x) =1 müßte


rauskommen.

und

ist doch
????

Oder hab ich da irgentwo nen Denkfehler????



Gruß governet
StryKeRneL Auf diesen Beitrag antworten »
Richtiges Ergebnis
Du hast es nicht gut berechnet, ein gutes Prozess und das Ergebnis sind:









smile )
governet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtiges Ergebnis
Ich sehe schon, Integralrechnungen muss ich noch ein bischen üben. Danke für die Lösung. Jetzt sehe ich auch, wie ich es integrieren hätte müssen.

Gruß governet
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von governet
mit u'(r) = und u(r) =
[...]
Oder hab ich da irgentwo nen Denkfehler????


Ja, da hast du einen grossen Denkfehler:
Das Integral von e^(r^2) ist nicht gleich e^(Integral von r^2)!!!

Die Stammfunktion von e^(r^2) ist mit den Funktionen aus der Schule nicht angebbar (du benötigst die Fehlerfunktion erf). Die Stammfunktion von r*e^(r^2) ist dagegen leicht durch Substitution zu ermitteln.
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