Abelsche Gruppen

13.11.2011, 14:33

Dumdidum1

Abelsche Gruppen

Mal wieder eine Frage...

Aufgabe:
In welchen der folgenden Fälle handelt es sich um abelsche Gruppen (d.h A1-A4 bzw. die Körperaxiome sind erfüllt??

a) $\begin{eqnarray*} (\mathbb N, +) \end{eqnarray*}$ , wobei + die gewöhnliche Addition auf den natürlichen Zahlen ist

b) $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, -) \end{eqnarray*}$ , wobei - die gewöhnliche Subtraktion auf den ganzen Zahlen ist

Ich weiß nun, dass die Körperaxiome angewandt werden müssen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das formal darstellen soll.

Meine Idee zu a) :
reicht es zu schreiben, z.B. für A1(Assoziativität der Addition)
$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c \end{eqnarray*}$

für A2 analog

für A3 (Nullelement)
$\begin{eqnarray*} \exists 0 \in \mathbb N \forall a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a + 0 = a \end{eqnarray*}$

für A4 analog

Meine "Idee" zu b): Kann das überhaupt eine abelsche Gruppe sein, es ist doch keine additive Gruppe, oder? Bzw. wie kann ich zeigen, dass es keine abelsche Gruppe ist??

13.11.2011, 15:07

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe muss auch für jedes Element ein sogenanntes Inverses besitzen, sodass $\begin{eqnarray*} x\oplus y=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Dann ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das bzgl. $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ Inverse zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn man mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das Nullelement bezeichnet.

Prüfe mal die Existenz.

13.11.2011, 18:12

Dumdidum1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann ich für das Inverse dann den Beweis so anfürhren, zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb N, +) \end{eqnarray*}$ :
mit $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ ist ein Inverses Element zu y bezüglich +

es gibt ein $\begin{eqnarray*} x' \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray*} y + x' = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = x + n = x *( y + x' ) = ( x+y ) + x' = ( y + x ) + x' = n + x' = x' \end{eqnarray*}$

so habe ich doch gezeigt, dass es zu einem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mindestens ein $\begin{eqnarray*} \exists y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} y + x = n \end{eqnarray*}$ und n ist das neutrale Element.

Aber wie mache ich das bei b)??

13.11.2011, 19:13

All_That_Remains

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

... und n ist das neutrale Element.

Was ist denn das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} (\mathbb N , +) \end{eqnarray*}$ ? Das lässt sich nämlich explizit angeben ...

13.11.2011, 20:05

Dumdidum1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Nullelement, also 0! Oder nicht?

13.11.2011, 20:48

All_That_Remains

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das neutrale Element ist 0.

Zitat:

... so habe ich doch gezeigt, dass es zu einem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mindestens ein $\begin{eqnarray*} \exists y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} y + x = n \end{eqnarray*}$ und n ist das neutrale Element.

Wenn n das neutrale Element sein soll, dann setz mal n = 0 und überprüfe die obige Aussage nochmal ...

13.11.2011, 22:36

Dumdidum1

Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäre die Aussage: $\begin{eqnarray*} y + x = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist dieses Körperaxiom nicht erfüllt und es ist keine abelsche Gruppe, stimmt das so?

Vielen Dank!

Bzw. wenn ich in den Beweis oben für n=0 einsetzte bekomme ich doch auch x' als Lösung, dann wäre der Beweis für ein inverses Element doch gegeben. ODer bin ich jetzt total falsch?!?! Sorry, bin etwas verwirrt...

14.11.2011, 20:08

All_That_Remains

Auf diesen Beitrag antworten »

Am einfachsten hilft hier wahrscheinlich ein Zahlenbeispiel. Nimm zum Beispiel einfach mal die 5 und versuche dazu ein inverses Element b zu bestimmen, so dass gilt: 5 + b = 0. (mit b aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ )

Wenn $\begin{eqnarray*} ( \mathbb N , + ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, müsste das ja gehen.

Neue Frage »

Antworten »

Abelsche Gruppen

Verwandte Themen