Parameter a so bestimmen, dass sich 2 Geraden in Parameterform schneiden!

13.11.2011, 23:33

Mathenoobika

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Parameter a so bestimmen, dass sich 2 Geraden in Parameterform schneiden!

Hallo ich habe hier mal wieder ein paar Schwierigkeiten:

Ich habe 2 Geraden gegeben und die 2. hat an der x_3 Stelle einen Parameter a, der so bestimmt werden soll, dass sich die beiden Geraden schneiden.

$\begin{eqnarray*} G_1 := \left\{ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right \} <br /> \\<br /> G_2 := \left\{ \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ a \end{pmatrix}\right \} \end{eqnarray*}$

Mein erster Ansatz war es zuerst einmal ein lineares Gleichungssystem aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -5 & -2 \\ 4 & -a & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dieses auflöse komme ich jedoch auf recht absurde Ergebnisse. Wie gehe ich da weiter vor?

Kann mir jemand helfen?

Viele Grüße

Mathenoobika

13.11.2011, 23:51

Helferlein

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Ich würde mir den dritten Spaltenvektor noch einmal genauer anschauen.
Der hat nämlich so wie er da steht nichts mit dem Schnittpunkt zu tun.

EDIT: Seit 23:55 stimmt die dritte Spalte.

13.11.2011, 23:55

Dopap

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gar nicht so schwer!

Das LGS muss eine Lösung haben.

Im LGS nicht denselben Parameter verwenden!!
Einmal Lambda und dann vielleicht µ.
Das kann man deiner Matrix aber nicht ansehen.
Egal, sei
Spalte 1= Lambda
Spalte 2 = µ

Den FormParameter a einfach "mitnehmen", und dann entscheiden, für welches a das LGS genau eine Lösung besitzt.

13.11.2011, 23:57

Mathenoobika

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Habe den Wert korrigiert, habe mich vertippt gehabt, habe auf dem Blatt auch mit -2 gerechnet, trotzdem erhalte ich sehr merkwürdige Ergebnisse, die so nicht stimmen können.

Ist denn die generelle Vorgehensweise (Gleichsetzen, nach Variablen auslösen etc. die Richtige)

Ich bin davon ausgegangen, dass 3 Variablen mindestens 3 beschreibende Gleichungen benötigen.

Lambda 1 und Lambda 2, kann ich ja noch mit der 1. & 2 Zeile ausrechnen und dieses dann verwenden um a zu berechnen?

Ist das so korrekt?

14.11.2011, 00:02

Helferlein

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Das a ist aber für das GLS konstant, daher also nicht auf demselben Weg wie die lambdas zu berechnen.
Die Idee mit der Matrix ist schon richtig, nur hast Du Dich anscheinend bei den Umformungen vertan. Wenn Du es richtig machst, dann sollte eine Zeilenstufenform herauskommen, die in der Diagonalen den Parameter a enthält.
Du musst dann entscheiden, wann dieser Eintrag Null wird und wie sich die rechte Seite verhält.

14.11.2011, 00:04

Dopap

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Zitat:

Original von Mathenoobika

Lambda 1 und Lambda 2, kann ich ja noch mit der 1. & 2 Zeile ausrechnen und dieses dann verwenden um a zu berechnen?

Ist das so korrekt?

NEIN! deine Lambda1 und Lambda2 müssen auch Gleichung 3 "erfüllen"

Wie kommst du auf 3 Variable?

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14.11.2011, 00:13

Mathenoobika

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Ich hoffe hier wird klar, was ich gemacht habe? Ist das soweit korrekt und wie gehe ich jetzt vor allem weiter vor, da ich ja noch die Faktoren $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ da drin habe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -5 & -2 \\ 4 & -a & 3 \end{pmatrix} <br /> \\<br /> \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -5 & -2 \\ 0 & -a+4 & -1 \end{pmatrix} <br /> <br /> \\<br /> \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & -5 \\ 0 & -a+4 & -1 \end{pmatrix} <br /> \\<br /> \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & -5 \\ 0 & -a & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.11.2011, 00:39

Helferlein

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Das stimmt soweit, ist aber noch nicht die letzte Fassung, da Du noch kein Dreieck hast. Du solltest auch noch das a/2-Fache der zweiten Zeile von der dritten abziehen.

Überleg Dir danach, wie speziell die letzte Zeile als Gleichung aussieht.

14.11.2011, 08:42

Mathenoobika

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a kommt doch in der 2. Zeile gar nicht vor? Zumindest laut Ursprünglicher Darstellung.

Wie kann ich da das a/2-Fache von der 3. Zeile abziehen. Vor allem würde damit in der letzten Zeile ja 0 0 -19/2 stehen???

14.11.2011, 10:43

Mathenoobika

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Also ich habe da doch nun die folgenden 3 Gleichungen stehen. Korrigiert mich, wenn ich mich irre.

I.) $\begin{eqnarray*} - \lambda_{1} + \lambda_{2} = -1 \end{eqnarray*}$
II.) $\begin{eqnarray*} 0\lambda_{1} -2\lambda_{2} = -5 \end{eqnarray*}$
III.) $\begin{eqnarray*} 0\lambda_{1} -\lambda_{2}a = -11 \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich ja nicht ganz weiter insbesondere auf den Kommentar bezogen, ziehe doch das a/2-fache von II von III ab???

Gruß

Mathenoobika

14.11.2011, 12:13

Helferlein

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In der Dreiecksform kannst Du am schnellsten entscheiden, ob das System lösbar ist und wenn ja, ob es eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Du hast aber noch keine Dreiecksform, sondern zwei Gleichungen mit derselben Variable drin.
Natürlich kannst Du auch hergehen und beide separat betrachten. Zur Lösung des Gesamtsystems dürfen sich diese beiden Gleichungen nicht widersprechen. Das führt aber mit mehr Schreib und vermutlich auch Rechenaufwand auf genau denselben Weg, den ich Dir vorgeschlagen habe.

Wenn Du meinem Rat folgst, kommst Du zu dieser Dreiecksform. Die -19/2 auf der rechten Seite der Matrix stimmen aber definitiv nicht.
Falls es Dir an der Gleichung lieber ist: Multipliziere die erste Gleichung mit -a/2 und addiere diese neue Gleichung dann zur letzten. Wenn Du das sauber machst, wird rechts ein Term mit a stehen. Dies bedeutet als Gleichung 0=f(a), wobei f(a) für den eben erwähnten Term steht.

Du musst Dir dann überlegen für welche a diese Gleichung zutrifft, denn nur dann ist das System lösbar.

14.11.2011, 13:45

Mathenoobika

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Du meinst die 2. Gleichung mit (a/2) um das letztes a auszuschalten.

Ich bin mir nur nicht sicher ob ich einfach mit a multiplizieren darf?

Das kommt mir nämlich ein wenig komisch vor.

Gruß

Mathenoobika

14.11.2011, 13:50

Mathenoobika

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Also ich bekomme folgendes raus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -a & -5a \\ 0 & 0 & (9+5a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nun aber nicht sicher was die letzte Zeile bedeuten soll, da es ja umgesetzt heissen würde.

$\begin{eqnarray*} 0 \lambda_{1} + 0 \lambda_{2} = 9+5a \end{eqnarray*}$ ??

Wie soll ich das interpretieren...

Heisst das, dass a ungleich 9/5 sein muss, damit das System lösbar ist?

14.11.2011, 13:53

Parker_halo

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Wenn du eine gleichung x=y auf beiden Seiten mit a multiplizierst veränderst du nicht den Wahrheitsgehalt der Gleichung.

Sobald du dann die Zeilenstufenform der Matrix hast, bist du praktisch schon fertig. Dann musst du nur noch dein a korrekt wählen, damit das ganze Lösbar wird undes bleibt nur (sozusagen) nur noch ein Lineares Gleichungssystem mit 2 unbekannten und 2 gleichungen.

14.11.2011, 13:59

Parker_halo

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Also ich bekomme folgendes raus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -a & -5a \\ 0 & 0 & (9+5a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der Umformung musst du die zweite Zeile nicht verändern. Du multiplizierst die zweite Zeile ja nur mit -a/2 damit du in der dritten zeile den zweiten Eintrag eliminieren kannst.

Zitat:

Original von Mathenoobika
$\begin{eqnarray*} 0 \lambda_{1} + 0 \lambda_{2} = 9+5a \end{eqnarray*}$ ??

Wie soll ich das interpretieren...

Heisst das, dass a ungleich 9/5 sein muss, damit das System lösbar ist?

Prinzipiell ja, nur ist dir wohl bei der berechnung der Zeilenstufenform ein Fehler unterlaufen... die 9+5a können nicht stimmen.

Und es würde heissen dass a = -9/5 (oder eben dem richtigen wert) sein muss und nicht ungleich...

14.11.2011, 14:05

Mathenoobika

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Es sollte heissen

$\begin{eqnarray*} 0\lambda_{1}+0\lambda_{2} = 9 + \frac{5a}{2} \end{eqnarray*}$

14.11.2011, 14:44

Mathenoobika

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So nach zig dummen Rechenfehlern der simpelsten Sorte :-( Argh!

Bin ich nun endlich zum Ergebnis gekommen, welches auch die Ursprungsgleichung erfüllt (Vielen Dank für die geduldige Hilfe)

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \frac{21}{6}, \lambda_{2} = \frac{5}{2}, a = \frac{22}{5} \end{eqnarray*}$

Damit die letzte Zeile zu einer wahren Aussage wird, muss a also den Wert 22/5 annehmen und nur so wird das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

Vielen Dank vor allem an Helferlein :-)

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