Abbildungsvorschrift von L2oL1

14.11.2011, 21:14

Haselnuss

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Abbildungsvorschrift von L2oL1

Meine Frage:
Seien L1 und L2 zwei beliebige lineare Abbildungen von C^n nach C^n mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} Bild(L1)\subseteq Kern(L2) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie nun die Abbildungsvorschrift L2 o L1.

Meine Ideen:
ich könnte mir nu vorstellen, dass die Abbildungen nach 0 abbilden müssen da Bild(L1) $\begin{eqnarray*} \subseteq Kern(L2) sein soll \end{eqnarray*}$ ansonsten fehlt mir jeglicher Ansatz. Ich hoffe mir kann jemand geholfen tun.

15.11.2011, 08:10

Leopold

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Welche Abbildungen? Es geht um 1 Abbildung, nämlich $\begin{eqnarray*} L_2 \circ L_1 \end{eqnarray*}$ .
Bei der Sache mit der Null liegst du allerdings richtig. Berechne dazu einfach $\begin{eqnarray*} \left( L_2 \circ L_1 \right)(x) = L_2 \left( L_1(x) \right) \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

15.11.2011, 17:53

Haselnuss

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so : $\begin{eqnarray*} L2=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L1=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}) (1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}(\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}(1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray*}$ so und jetzt?

15.11.2011, 17:58

Leopold

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RE: Abbildungsvorschrift von L2oL1
Nein, du weißt über die Abbildungen nichts anderes als

Zitat:

Original von Haselnuss
$\begin{eqnarray*} Bild(L1)\subseteq Kern(L2) \end{eqnarray*}$

Daß sie von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ gehen, ist hier nicht wichtig.

Du mußt dir klar machen, was "Bild" und "Kern" bedeuten, und die obige Voraussetzung mit eigenen Worten formulieren. Dann liegt alles auf der Hand ...

15.11.2011, 18:06

Haselnuss

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RE: Abbildungsvorschrift von L2oL1
na das Bild $\begin{eqnarray*} L1\vec{x} , \vec{x}\in C ^ {n} \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge des Kernes $\begin{eqnarray*} L2\vec{x}, \vec{x}= Nullvektor \end{eqnarray*}$ also wird L2oL1 --> Nullvektor abgebildet ?

15.11.2011, 18:09

Leopold

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Das Problem ist, daß man das nicht richtig lesen kann. Möglicherweise ist es richtig.

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15.11.2011, 18:11

Haselnuss

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Was genau kann man nicht richtig lesen?

15.11.2011, 18:12

Leopold

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RE: Abbildungsvorschrift von L2oL1

Zitat:

Original von Haselnuss
na das Bild $\begin{eqnarray*} L1\vec{x} , \vec{x}\in C ^ {n} \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge des Kernes $\begin{eqnarray*} L2\vec{x}, \vec{x}= Nullvektor \end{eqnarray*}$ also wird L2oL1 --> Nullvektor abgebildet ?

Wo hört ein Zeichen auf, wo beginnt das andere?

15.11.2011, 18:21

Haselnuss

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RE: Abbildungsvorschrift von L2oL1
slo ich schreibs nochmal :

$\begin{eqnarray*} Bild ({L1*\vec{x} ,\vec{x} \in C^ {n}}) \subseteq Kern({L2*\vec{x}=\vec{0} }) \end{eqnarray*}$

daraus folgt das $\begin{eqnarray*} \vec{x} --> \vec{0} \end{eqnarray*}$

so besser?

15.11.2011, 18:25

Leopold

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Bild und Kern sind MENGEN! Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} L_1,L_2 \end{eqnarray*}$ sind ZAHLEN! Eine solche gemischte Schreibweise gibt es nicht.
Und was soll der Stern?

15.11.2011, 18:39

Haselnuss

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das Stern bedeutet mal(Multiplikationszeichen)

$\begin{eqnarray*} Bild(L1) = span ({L1*\vec{x} }) \end{eqnarray*}$ Bilder sind alle Vektoren die ich erhalte wenn ich die lineare Abbiklung L1 mit den linear unabhängigen Standardbasisvektoren $\begin{eqnarray*} (\vec{x}) \end{eqnarray*}$ der Urbildmenge multiplliziere
$\begin{eqnarray*} Kern( L2) = span ({\vec{x} |L2* \vec{x} = \vec{0}}) \end{eqnarray*}$ Kern L2 ist die Menge an Vektoren die multipliziert mit der linearen Abbildung L2 den Nullvektor ergeben

15.11.2011, 18:42

Leopold

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Schreibt ihr beim Anwenden einer Abbildung wirklich einen Malpunkt? (Man kann das machen, wenn man eine Abbildung sozusagen als Operation auf einer Menge auffaßt, im Kontext hier erscheint es mir aber äußerst ungewöhnlich.)

15.11.2011, 18:48

Haselnuss

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Hab nochmal im Skript nachgeschaut , da is kein "mal" Zeichen dazwischen, aber das bedeutet doch dasgleiche oder irre ich mich ?

15.11.2011, 18:50

Haselnuss

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Wie schreib ich jetzt die Antwort auf meine eingangs gestellte Aufgabe formal korrekt auf?

15.11.2011, 18:56

Leopold

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$\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ heißt "L_1 von x", wie ja auch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ "f von x" heißt.

Das Bild von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Elementen $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ .

Der Kern von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Elementen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L_2(y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und worauf wird denn nun bei $\begin{eqnarray*} L_2 \left( L_1(x) \right) \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ angewendet?

15.11.2011, 18:59

Haselnuss

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na auf L1(x)

15.11.2011, 19:03

Haselnuss

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nee quatsch auf den Nullvektor natürlich ?!

15.11.2011, 19:06

Leopold

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Ja. $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ angewendet (nicht auf Null! geschockt

geschockt

). Aber welcher besonderen Menge gehört $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ an? (Das habe ich gerade beschrieben.)

15.11.2011, 19:08

Haselnuss

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L1(x) gehört zur Menge des Bildes

15.11.2011, 19:09

Leopold

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Aber das Bild ist nach der Urvoraussetzung der Aufgabe ...

15.11.2011, 19:12

Haselnuss

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Teilmenge des Kerns

15.11.2011, 19:14

Leopold

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Wenn aber nun $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ dem Bild von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ (!!!) angehört, das aber eine Teilmenge des Kerns von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ (!!!) ist, dann ...

15.11.2011, 19:24

Haselnuss

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ich brauch nen neues Gehirn ich verstehs glaub ich nicht

...dann ist das Bild das gleiche wie der Kern ?

15.11.2011, 19:27

Leopold

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Wenn Haselnuss der Menge der MatheBoard-Nutzer angehört, die Menge der MatheBoard-Nutzer aber eine Teilmenge der Menge aller intelligenten Menschen ist, dann ...

15.11.2011, 19:29

Haselnuss

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bin ich auch intelligent

15.11.2011, 19:31

Leopold

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Das ist doch schon einmal was!
Jetzt mache das mit dem Satz von vorhin. Er geht nicht mit "Haselnuss" los, sondern mit $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2011, 19:33

Haselnuss

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ja dann gehört L1 (x) auch zum Kern

15.11.2011, 19:38

Leopold

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Das war eine schwere Geburt! (Hauptsache, alle leben!)

Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ zu den Mitgliedern $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ des Kerns von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ ist, wie gerade gesehen, ein solches $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , nicht besonders nett. Denn ...

15.11.2011, 19:51

Haselnuss

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....er bezeichnet sie als Nullen?

15.11.2011, 19:54

Leopold

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Sagen wir besser: $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ ist ihr Terminator, er macht sie zu Nullen: $\begin{eqnarray*} L_2(y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Was ist jetzt also $\begin{eqnarray*} L_2 \left( L_1(x) \right) \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 19:57

Haselnuss

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na L2(L1(x)) ist dann = 0 ?

15.11.2011, 19:59

Leopold

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Ja. So etwas Ähnliches hast du zwar schon am Anfang unserer Unterhaltung behauptet. Aber da war das doch ein ziemlich verworrenes Verständnis der Angelegenheit. Insbesondere hast du nicht zwischen Mengen und den Elementen der Menge unterschieden.

Und was war nun eigentlich in der ganzen Angelegenheit unser $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 20:03

Haselnuss

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ein Standardbasisvektor aus der Urbildmenge ?

15.11.2011, 20:10

Haselnuss

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oder der Nullvektor?

15.11.2011, 20:10

Leopold

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Viel allgemeiner: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ war ein ganz beliebiges Element der Urbildmenge $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ .

Und deshalb können wir sagen:

Aus der Tatsache, daß das Bild von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge (!) des Kerns von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ ist, kann man

$\begin{eqnarray*} L_2 \left( L_1(x) \right) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

folgern. Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} \left( L_2 \circ L_1 \right)(x) \end{eqnarray*}$ gerade als $\begin{eqnarray*} L_2 \left( L_1(x) \right) \end{eqnarray*}$ definiert.

Was macht also die Abbildung $\begin{eqnarray*} L_2 \circ L_1 \end{eqnarray*}$ mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 20:17

Haselnuss

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sie bildet das beliebige x nach L2(L1(x)) ab ?

15.11.2011, 20:18

Leopold

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Ja, schon. Aber was kommt da heraus? Das hast du doch gerade gesagt.

15.11.2011, 20:22

Haselnuss

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na 0 (bzw. der Nullvektor) kommt da raus also ist die Abbildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} \vec {x} --> \vec {0} \end{eqnarray*}$

15.11.2011, 20:31

Leopold

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Die Abbildung $\begin{eqnarray*} L_2 \circ L_1 \end{eqnarray*}$ ist also besonders grausam. Sie wirft alles auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Man könnte auch sagen: Ganz $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegt in ihrem Kern, d.h. hier sogar: $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ihr Kern.

Wie nennt man aber diese ach so blutrünstige Abbildung?

15.11.2011, 20:48

Haselnuss

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lineare Abbildung ?

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