Modellieren v. Wachstumsprozessen am Bsp. der Bevölkerung v. Oberhausen

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Anil Auf diesen Beitrag antworten »
Modellieren v. Wachstumsprozessen am Bsp. der Bevölkerung v. Oberhausen
Servus! Ich hab eine Bitte! Ich muss eine Facharbeit zum Thema "Modellieren von Wachstumsprozessen am Beispiel der Bevölkerung von Oberhausen" schreiben! Dafür habe ich folgende Daten aus einem Statistikbuch herausgesucht:

1871 31.850
1875 38.001
1880 40.932
1885 47.665
1890 57.916
1895 71.162
1900 100.218
1905 133.525
1910 161.238
1925 186.322
1929 193.854
1933 192.345
1946 174.595
1950 202.808
1961 256.773
1963 260.570
1970 246.736
1978 232.815
1980 231.411
1981 231.164
1982 230.466
1983 228.515
1984 226.855
1985 225.611
1986 224.156
1987 222.961
1988 223.663
1989 224.844
1990 225.820
1991 225.582
1992 226.570
1993 226.802
1994 225.551
1995 224.460
1996 223.907
1997 223.172
1998 222.206
1999 221.984
2000 221.470
2001 221.079
2002 220.333
2003 219.684
2004 219.159

Nun habe ich das Problem, das ich nicht genau weiß wie ich für bestimmte Jahresspannen Funktionen Modelieren soll. Habe versucht eine Funkton aufzustellen für 1871 bis 1929. Dabei kriege ich diese Funktion:



Aber irgendwie kann ich da keine Jahreszahlen einsetzen um die Bevölkerung eines bestimmten Jahres zu bekommen.
Kann mir jemand helfen eine vernünftige Funktion aufzustellen an diesem Beispiel? Das wäre mir eine große Hilfe!
Schonmal herzlichen Dank im Vorraus!
mfg Anil
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Jahreszahlen direkt wirst du nie einsetzen können. Du musst erst einen "Null-Zeitpunkt", also ein Jahr, für das t = 0 ist, wählen und von dort dann loszählen. Dabei kannst du mit dem Jahr 1871 zu beginnen (t = 0).

1871: t = 0
1875: t = 4
...
2004: t = 133

Welchen Typ von Wachstumsfunktion (exponentiell, begrenzt, logistisch) hast du nun bei der Modellierung zu Grunde gelegt?

Um die Koeffizienten dieser Wachstumsfunktion zu ermitteln, sind maximal drei Stützwerte erforderlich, die der Messreihe zu entnehmen sind. Daher können nur diese drei Zahlenpaare die Funktion exakt erfüllen, bei allen anderen werden sich mehr oder weniger große Abweichungen ergeben. Auf Grund dessen wird auf die Auswahl der Stützpunkte großer Wert zu legen sein.

Ein ungefähres Bild der Wachstumskurve erhält man, wenn man den Graph der Wertepaare darstellt. Das geht z.B. gut in Excel, denn dort kann man die Wertepaare umgehend als Punkt-Diagramm (XY) darstellen. Dabei sieht man auch, dass sich der Trend bis zum Jahre 1929 ganz anders verhält, als danach bis in die heutige Zeit.

Das soll dir zunächst als Anhaltspunkt deiner weiteren Arbeit dienen.

Gr
mYthos
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mythos! Ich danke dir erstmal recht herzlich für deine Antwort! Mittlerweile habe ich mir ein paar aufgaben zum beschränkten Wachstum angeguckt und somit mir eine Formel für die Jahre 1871 - 1929 hergeleitet! Dabei habe ich folgendes herausbekommen:



Also soweit bin ich bisher! Das heißt ich müsste für Weitere Abschnitte Formeln aufstellen! Gibt es eigentlich auch eine Möglichkeit den kompletten Graph den ich auch schon zuvor bei Excel erstellt hatte als Formel zu formulieren?
Ach und was ich sehr sehr seltsam an meiner Formel finde ist, dass sie überhaupt kein beschränktes Wachstum aufweist! Ich glaube nämlich nicht, dass ich beim Rechnen einen fehler gemacht habe! Vielleicht kann mir ja jemand hier meine fragen beantworten. Danke Danke Danke
Freude Freude Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Um die Koeffizienten dieser Wachstumsfunktion zu ermitteln, sind maximal drei Stützwerte erforderlich, die der Messreihe zu entnehmen sind. Daher können nur diese drei Zahlenpaare die Funktion exakt erfüllen, bei allen anderen werden sich mehr oder weniger große Abweichungen ergeben.

Und genau das ist das Problem dieses Interpolationsansatzes - die Willkür der Auswahl der drei Stützstellen und dann das Hoffen auf gute Approximation für den Rest... Augenzwinkern

Günstiger ist da schon die Approximation durch ein statistisches Regressionsverfahren: Die entstehende Kurve geht zwar dann i.a. durch keinen einzigen der Ausgangspunkte, approximiert diese aber optimal in einem gewissen Sinne (meistens findet dabei das Kriterium "kleinste Summe der Abweichungsquadrate" Anwendung - kurz MKQ genannt).

Aber ich weiß nicht, wie gut deine Vorkenntnisse auf diesem Gebiet sind (Stichwort "Lineare Regression" ?), und ob das nicht über die Ziele deiner Facharbeit hinausschiesst, deshalb stoppe ich hier erstmal.
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur Dent! Leider sind meine Kenntnisse noch nicht so weit! Aber trotzdem vielen Dank! Und ich glaube das wäre auch zu schwer sich das jetzt anzueignen. nunja Gott Augenzwinkern

Ach und mir ist aufgefallen, dass meine Formel so nicht ganz richtig ist!
Ich hoffe sie stimmt jetzt:


mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas muss ich freilich revidieren: Selbstverständlich kann man die Funktion so umformen, dass man die Jahreszahl auch direkt eingeben kann, sorry, mein Irrtum Forum Kloppe

Zum anderen: Es gibt verschiedene Regressionstypen. Die lineare Regression selbst ist für diesen Typ Wachstumsfunktion völlig ungeeignet. Im Excel-Diagramm kann man - wenn man mit der Maustaste auf einen Punkt der Linie klickt, eine Trendlinie einfügen und den Regressionstyp einstellen. Interessanterweise liefert der polynomische ein gutes optisches Ergebnis, während der exponentielle leider nur mit der Funktion approximiert. Deswegen gibt's nach oben keine Beschränkung. Man kann aber auch userspezifische Optionen eingeben, aber damit müsste man noch eine Weile experimentieren.

Noch zu der Kurve, die du herausgefunden hast: Darin liegt das Problem, welches Arthur bereits angesprochen hat. Die Werte in dem recht kleinen Bereich von 1871 bis 1929 werden damit zwar relativ gut abgedeckt, dennoch berücksichtigt diese Gleichung keinesfalls ein beschränktes oder logistisches Wachstum*, sie ist somit für den nachfolgenden Zeitraum unbrauchbar.. Im Jahre 2000 würde die Bevölkerung schon bei ca. 600000 liegen. Für den Zeitraum von 1871 bis 1929 liefert sogar die lineare Regression akzeptable Werte, weil die Kurve anfangs ein weitgehend lineares Verhalten aufweist.

mY+

*) Es wäre interessant zu wissen, welche Art von Gleichung du deinen Berechnungen zu Grunde gelegt hast.
 
 
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mythos! Danke für den tip mit der Trendlinie! Ich habs mir angeschaut und werde mich damit mal näher befassen!

Nunja eigentlich hatte ich die Formel auch nur für die Jahre 1871 bis 1929 aufgestellt! Sie dient nicht dazu andere Werte einzusetzen. Die Funktion "sollte eigentlich" ein beschränktes Wachstum darstellen. Hab mich nämlich nach einer Aufgabe orientiert, die ich in einem Buch gefunden habe zum Thema "beschränktes Wachsttum". Dazu war auch die Lösung mit den einzelnen Schritten aufgeführt. Nachdem ich dieses Verfahren auf das meiner Daten von 1871 bis 1929 übertragen hatte, kamen zwar gute Ergebnisse heraus, aber der Graph sah eher nach einem exponentiellem Wachstum aus als nach einem beschränkten! Vielleicht kannst du mir das erklären?!?!

Folgende gleichung habe ich für meine Arbeit zu Grunde gelegt:

Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir vllt jemand helfen eine logistische Wachstumsfunktion aufzustellen für 1871 - 1929? Ich krieg da immer eine sehr seltsame Funktion raus, die nicht meinen Vorstellungen entspricht!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anil
...
Nunja eigentlich hatte ich die Formel auch nur für die Jahre 1871 bis 1929 aufgestellt! Sie dient nicht dazu andere Werte einzusetzen.


Wozu dienen dann die anderen Werte bis 2004?

Also WAS jetzt, eine begrenzte oder logistische Wachstumsfunktion??? Darin besteht nämlich ein erheblicher Unterschied.
Nachdem du eine begrenzte Funktion verlangt hast, hatte ich meine Antwort dafür bereits ausgearbeitet, und daher sende ich dir diese. Ganz ähnlich kannst du dann für eine logistische Funktion vorgehen.

Wie dem auch sei, die Wachstumskurve für das begrenzte Wachstum auch nur für den Zeitraum von 1871 - 1929 aufzustellen ist wahrlich eine harte Nuss. Nicht wegen der Rechnung an sich - die zugehörigen Gleichungen aufstellen, ist eigentlich kein Problem - sondern hinsichtlich der Verarbeitung der einerseits sehr großen Werte (a, b; Bevölkerungszahl) und andererseites dem absolut ziemlich kleinen k. Damit stoßen wahrscheinlich viele CAS an ihre Grenzen. Das wird vermutlich auch der Grund sein, warum du keine vernünftigen Ergebnisse erhalten hast.

Für die 3 Konstanten der Funktion sind mindestens drei Messpunkte erforderlich. Ausgehend davon (ich habe die Messwerte bei 1871, 1910 und 1929 verwendet) und den Vereinbarungen

t - 1871 = x; t - 1910 = x + 39; t - 1929 = x + 58

t = 1871 -> x = 0

erhalten wir






---------------------------------
Subtraktion:




---------------------------------

Gleichsetzen:





Bei der Lösung dieser Gleichung errechnet mein Derive entweder k = 0 (trivial) oder rechnet endlos lange.

Daher wird nun die Subst.: angewandt () und somit wird die Gleichung zu



Dann erhalte ich z = 0,2803665543 und nach Rücksubstitution = 0,02192512774

So, den Rest mögest du noch erledigen, also a, b berechnen und vielleicht den Graphen zeichnen und die Abweichungen der anderen Messwerte kontrollieren. Wenn du die Lösung dann hier postest, dann kann ich sie mit meinen vergleichen.



mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mythos!
Eine komplette Funktion für den ganzen Graphen kann man ja nicht aufstellen! Das heißt ich muss abschnittsweise definieren! So hats mir meine Lehrerin auf jeden Fall erklärt!

Wenn man sich den Graphen von 1871 bis 1929 anschaut sieht man ja ganz deutlich, dass dieser Abschnitt einem logistischen Wachstum viel ähnlicher ist als einem beschränktem. So müssten die Werte bei einer logistischen Wachstumsfunktion eigentlich genauer sein! Das hat mir meine Lehrerin auch vorgeschlagen. Aber mir ist aufgefallen, dass die Funktion des beschränkten Wachstums genauer ist als die des logistischen!
Ich werde beide mal später hier reinstellen!

Nun ja ich habe gerade a und b ausgerechnet:

a=256970,165
b=225120,165

Die Funktion lautet dann:



Habe einige Werte eingesetzt und die Abweichungen sind relativ groß!

bis dann Anil
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anil
Hallo mythos!
Eine komplette Funktion für den ganzen Graphen kann man ja nicht aufstellen! Das heißt ich muss abschnittsweise definieren!
...


Dem stimme ich zu!

Zitat:

Nun ja ich habe gerade a und b ausgerechnet:

a=256970,165
b=225120,165

Die Funktion lautet dann:


...


Die Werte hast du richtig. Du siehst es ja auch an dem Graphen, den ich geplottet habe. Es stimmt, die Abweichungen, speziell um die Jahrhundertwende, sind erheblich.

Ich denke, eine logistische Funktion kann dies vielleicht besser approximieren, denn diese ist wenigstens bis zum Wendepunkt hin konvex, während die begrenzte Wachstumsfunktion durchwegs konkav gekrümmt ist. Die Messreihe zeigt anfangs ebenfalls ein konvexes Verhalten.

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jedoch mit jedem Wert aus der Tabelle schon eine logistische Funktion geformt! keine ist so gut wie die des begenzten!

hier zum Vergleich:





ich habe in beide Funktionen mal alle Jahreszahlen eingegeben und dann den Mittelwert der Ergebnisse berechnet. Danch auch den Mittelwert von dn vorgegebenen Daten. Dabei hab ich festgestllt, dass der Mittelwert von der beschränkten Funktion näher am Mittelpunkt der Daten ist als der Mittelwert der logistischen Funktion!

bis dann und Augenzwinkern danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun habe ich (wollte eigentlich ursprünglich nicht, aber was tut man nicht alles Big Laugh ) auch noch die logistische Approximation berechnet, diese ist auch nicht gar so schlecht. Womöglich hattest du die bereits erwähnten Schwierigkeiten (Lösung zu nahe an 0 bzw. 1), die Konstanten vernünftig zu berechnen (ohne die Substitution und den Bruch vorher auflösen geht's in Derive nämlich nicht)



Wieder mit den Werten bei 1871, 1929, 1929 lautet diese



Nun kannst du vergleichen!

EDIT: Bild im Anhang korrigiert (Bezeichnungen vertauscht)

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

huhu

wow diese formel ist echt Spitze! Freude Danke! kannst du mir sagen wie du die Werte eingesetzt hast um k zu ermitteln?

Irgendwie krieg ich das nicht hin weil ich es immer mit dieser Formel probiert habe:



Woher kennst du dich so gut aus in Mathe? du bist doch Telekom-Techniker?

Gott bis dann
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Ach und die Beschriftung der Graphen ist nicht richtig! Du hast sie vertauscht! Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du in deiner Formel den Bruch rechts durch a dividierst (kürzt), erhältst du exakt die von mir verwendete Beziehung (S = G .. Sättigungswert oder Grenzbestand, ). Daher müsstest du das auch mit deiner Formel hinkriegen! Wie schon gesagt, liegt die Schwierigkeit darin, die Rechnung richtig aufzubereiten, sodass das CAS vernünftige Ergebnisse liefert.

Danke für den Hinweis, wird korrigiert!

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie leuchtet mir das nicht so ganz ein.

bei meiner Formel müsste ich doch für a 31850 einsetzen, für S 193854 und für t 58 oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. richtig, f(0) = a. S ist jedoch ein Sättigungswert, der eine obere Grenze, jedoch keinen Funktionswert darstellt. Du musst schon zwei weitere Punkte in die Funktion einsetzen und daraus S, k berechnen, so habe ich es im Prinzip auch gemacht.

Leichter ist es, zuerst S.k als Ganzes zu berechnen, dann S und daraus folgt schließlich k.

Der Vergleich mit meinem Ergebnis liefert (für deine Funktion):

a = 31850
S.k = 0.07611085345
S = 206735

k = 0,0000003681562556 (durch das sehr kleine k wird die Rechnung schwierig, daher mit S.k arbeiten, weil's eh nur in dieser Form vorkommt).

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich irgendwie bin ich total verwirrt.
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir für diesen Abschnitt nicht mal den Rechenweg schicken? Das würde mir echt weiterhelfen! verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch mal, wie dies beim begrenzten Wachstum gemacht wurde. Analog geht das auch hier, also die Messwerte einsetzen und daraus resultieren 3 Gleichungen, wobei die erste schon fertig da steht:



die anderen zwei aus 1910 und 1929



------------------------------------------------------------

Setze , dann ist und löse nach S und z (bekanntes a einsetzen).

Mach' nun mal so ähnlich weiter wie ich es dir beim begrenzten Wachstum gezeigt habe. Die Lösungen kennst du ja bereits

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

danke mythos! ich werd mich dransetzen! bist echt ne klasse hilfe! Augenzwinkern
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso kriege ich da andere Werte raus? Man man!!!

S=-225416,3791
s*k=0,0227183439

ich habs mehrmals probiert!

heute klappt auch nichts!
Kannst du mir nochmal weiterhelfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Brüche in den beiden letzten Gleichungen sind zunächst durch a zu kürzen, und dabei setzen wir ; ausserdem ist :






------------------------------------------------------------
mit und lauten die Gleichungen






------------------------------------------------------------






------------------------------------------------------------
Subtraktion jeweils der ersten von der zweiten und dritten Gleichung liefert




------------------------------------------------------------

nach b umstellen, gleichsetzen, Nenner multipl.


------------------------------------------------------------------------------------------------------

Das wirfst nun in ein CAS oder einen GTR ein ... In Derive:
NSOLVE((161238*z^(39/58) - 31850)*162004 = 129388*(193854*z - 31850), z, Real)
wird das zu z = 0.012101456 gelöst.

Daraus rücksubstituieren: S.k = = 0.0761108535
b und S folgen nun leicht aus den Gleichungen, b = 5.490900788, S = 206735.19 (wenn man will, kann man noch k berechnen, in der Funktion braucht man jedoch nur S.k)

So, jetzt das Ganze noch in deine Ausgangsfunktion einsetzen.

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Achso hast du das gemacht! Ich bin anders vorgegangen. Anscheinend wars falsch. Nun ja, danke aber für den Rechenweg. Mal schauen welche meiner Funktionen auch noch zu einer logistischen Formen muss! Das müsste ich jetzt alleine schaffen Augenzwinkern
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Brüche in den beiden letzten Gleichungen sind zunächst durch a zu kürzen, und dabei setzen wir ; ausserdem ist :



???????

Durch a hab ich auch geteilt! b eingesetzt! aber da steht doch dann noch das

also:
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Doch nicht den Exponenten dividieren! Die e-Potenz ist ausserdem multiplikativ an b gebunden und nimmt daher an der Kürzung NICHT teil, sondern nur der Faktor, der davor steht!




mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

oh okay und ich habs editiert weil ich dachte es sei falsch!
okay und wie gehe ich dann weiter vor?
also wie komme ich auf

31850+31850b=S
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde doch



gesetzt. Daraus ist S - a = ab bzw. S = a + ab, a = 31850

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich glaube ich habs verstanden. Aber sicher bin ich mir da noch nicht ganz. Na ja... ich danke dir^^

bis dann
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage habe ich noch: Warum muss man die Substitution anwenden?

bis dann anil
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie krieg ich einen falschen Graphen gezeichnet bei derive:

f(x)=(206735)/(1+5.4909*e^(-0.07611085*x))
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Substitution ist nicht zwingend notwendig. Habe ich jedoch schon begründet, warum ich das gemacht habe, denn mein Rechenprogramm (Derive) liefert ansonsten kS bzw. k = 0, welches nach dem Ausmultiplizieren der Brüche eine triviale Lösung ist.

Die Zeichnung, die ich in einem der vorigen Post's angehängt habe, habe ich jedoch mit Derive erstellt. Vor der Erstellung des Graphen (in Derive) musst du sicherstellen, dass alle beteiligten Variablen nicht belegt sind.

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich rechne mit meinem Taschenrechner! Der kann auch funktionen auflösen und umstellen. Aber ich hatte es nicht ausprobiert.

danke! Weißt du warum ich da einen falschen Graphen kriege?
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Achso wie schaue ich das nach?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In Derive musst du die Funktion mit f(x):= festlegen, und für e nicht den beliebigen Buchstaben e nehmen, sondern von rechts unten e aus den Sonderzeichen auswählen!

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoooo, jetzt gehts! Danke^^
Das mit e wußte ich aber das ich f(x):= schreiben muss war mir nicht geläufig! Ätzend, wie bei der Programmiersprache!
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

und was mache ich hierbei falsch?

f(x):=195911.2833-2057.283346*e^(0.137534406*x):

stimmt nicht mit meinen Ergebnissen überein
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja eine andere Funktion, ich kann ja nicht wissen, wie du auf diese gekommen bist? Da ist der Graph nicht mal richtig, also muss auch schon die Funktion falsch sein ...

mY+
Anil Auf diesen Beitrag antworten »

Ah das ist gut das ich den Graphen sehe! wollte eine beschränkte Abnahme erzeugen, was mir nicht gelungen ist! Muss mich da noch mal dransetzen!
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