konvergenz

16.11.2011, 00:27

martinio

konvergenz

Kann mal jemand uns fix helfen ? Sitze mit ein paar mitstudenten in der bib und versuchen uns an dieser aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} a_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ ist konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

wäre nett, wenn sich jmd um diese uhrzeit damit beschäftigen könnte.

16.11.2011, 01:50

juffo-wup

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Beweise, dass die Folge durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt ist und dann, dass sie monoton fällt.

16.11.2011, 02:36

martinio

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sprich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} > \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2011, 02:41

martinio

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das aufzulösen funktioniert leider nicht...

16.11.2011, 05:20

juffo-wup

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Verwende vollständige Induktion. Das sollte der erste Gedanke sein, wenn die Voraussetzung ist, dass es für n=1 gilt.

16.11.2011, 09:29

kosa

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von martinio
Kann mal jemand uns fix helfen ? Sitze mit ein paar mitstudenten in der bib und versuchen uns an dieser aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} a_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ ist konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

wäre nett, wenn sich jmd um diese uhrzeit damit beschäftigen könnte.

hallo!
kurze frage hast du von dieser aufgabe die (i) Beweisen Sie: für alle n € N ist a(n) > Wurzel von a
komplett lösen können? hänge da in der 2.zeile..
wie hast du das gemacht? wäre über eine antwort sehr dankbar smile

16.11.2011, 09:42

Calahan

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von kosa
kurze frage hast du von dieser aufgabe die (i) Beweisen Sie: für alle n € N ist a(n) > Wurzel von a

Das geht per Induktion.
Den Induktionsanfang bekommst Du ja durch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a_1>\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ schon geschenkt.

Im Induktionsschritt könntest Du dann AMGM einwechseln.

16.11.2011, 09:51

kosa

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RE: konvergenz
ok.. aber was meinst du mit "dann könntest du AMGM einwechseln"? AMGM? x)

16.11.2011, 09:54

Calahan

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RE: konvergenz
Damit ist die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel gemeint.

P.S.: AMGM wäre auch zu ergooglen und ist durchaus einprägenswert.

16.11.2011, 10:07

kosa

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RE: konvergenz
ok danke, ich habe das jetzt gegoogelt :-P muss aber leider sagen, dass ich immer noch nicht weiter weiß.. unglücklich

kann ich jetzt also für den induktionsschritt Wurzel[a(n)] < a(n) / n anschreiben? und was sagt mir das jetzt für den i-schritt aus?
sorry, bin neuling auf dem gebiet.. verwirrt

16.11.2011, 10:10

Bjoern1982

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Doppelpost:

ÜA: Konvergenz einer Folge

16.11.2011, 10:25

Calahan

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von kosa
kann ich jetzt also für den induktionsschritt Wurzel[a(n)] < a(n) / n anschreiben? und was sagt mir das jetzt für den i-schritt aus?

Wo kommt denn jetzt auf einmal das n im Nenner her? verwirrt

Also, für $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0\Rightarrow\frac{a+b}2\geq\sqrt{ab}. \end{eqnarray*}$

Jetzt überleg mal wie Du obige Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 12 (a+b)\geq\sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

in Deinem Induktionsschritt gewinnbringend einwechseln könntest.

16.11.2011, 10:57

martinio

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zurück zu meinem threat...

Zitat:

Verwende vollständige Induktion. Das sollte der erste Gedanke sein, wenn die Voraussetzung ist, dass es für n=1 gilt.

Schön und gut, aber ich weiß ja nur dass es für n=1 größer wurzel ist, und nicht ht was genau für an rauskommt.....

kannst du mir vll. den ersten schritt geben?

16.11.2011, 11:01

kosa

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RE: konvergenz
hmm.. kann ich also setzen: a= a(n) und b= a/a(n) weil ja gilt:
a(n+1) := 1/2 * (a(n) + a/a(n) ) ...?

und das dann > Wurzel von [ a(n) * a/a(n) ] ..wodurch sich das a(n) streicht und die behauptung gilt?

also dann auch a(n+1) > Wurzel [a]

16.11.2011, 11:02

juffo-wup

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Ich würde dir raten dir die Tipps von Calahan anzusehen. smile

16.11.2011, 11:03

kosa

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RE: konvergenz
sorry, werde deinen thread sobald ich noch eine Antwort auf meine letzte frage habe, nicht mehr mit sachen vollspamen, die du schon hast Augenzwinkern

tut mir leid.

hoffe wir bekommen beide noch kurz eine Antwort Augenzwinkern

16.11.2011, 11:07

martinio

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bezieht er sich nicht auf kosa ?! denn das habe ich genauso im aufgabenteil (i) gemacht...
also ich bin verwirrt wer jetzt mit wem hier was bespricht.... vll. sollte kosa meinen threat davor benutzen

16.11.2011, 11:15

juffo-wup

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Zitat:

Original von martinio
bezieht er sich nicht auf kosa ?! denn das habe ich genauso im aufgabenteil (i) gemacht...
also ich bin verwirrt wer jetzt mit wem hier was bespricht.... vll. sollte kosa meinen threat davor benutzen

Also du weißt ja noch nicht wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} < a_n \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist, oder? Darauf bezog sich meine Antwort. Also das mit dem AMGM ist ein guter Weg.

16.11.2011, 11:24

martinio

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okay....

IV: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} < a_n \end{eqnarray*}$ schon bewiesen

IS: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} > \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ ?
und das jetzt versuchen mit dem AMGM zulösen?

16.11.2011, 11:25

kosa

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mach ich ja, steh nur gerade auf der leitung.. -.-

könnte mir vlt jemand mal die ersten 2-3 schritte hinschreiben? normalerweise kappier ich etwas, wenn ich es sehe.. so hab ich aber leider keine vorstellung warum was zu tun ist.. verwirrt

16.11.2011, 11:40

juffo-wup

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Zu zeigen:

Zitat:

Original von martinio
IS: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} < \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ ?
und das jetzt versuchen mit dem AMGM zulösen?

Bekannt:

Zitat:

Original von Calahan
$\begin{eqnarray*} \frac 12 (a+b)\geq\sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

Mit ein bisschen Nachdenken sollte man den Zusammenhang sehen. Augenzwinkern

(edit: martinio hatte das Ungleichungszeichen falsch herum.)

Zweites edit: Ich überlasse mal das Weitere Calahan, damit es nicht zu unübersichtlich wird. Wink

16.11.2011, 11:41

Calahan

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Zitat:

Original von martinio
okay....

IV: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} < a_n \end{eqnarray*}$ schon bewiesen

IS: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} > \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ ?
und das jetzt versuchen mit dem AMGM zulösen?

Du hast im IS das Relationszeichen verdreht.

So wie dieses geht hier momentan so einiges drunter und drüber.

Daher noch mal ein kurzer Fahrplan:

1.Beschränktheit
Zeige induktiv, dass $\begin{eqnarray*} a_n>\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$
Im Induktionsschritt ist die inzwischen mehrfach erwähnte AMGM-Ungleichung hilfreich.

2. Monotonie
Zeige direkt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$
Dabei ist lediglich die zuvor unter 1. gezeigte Abschätzung zu investieren.

3. Grenzwert
Folgere aus 1. und 2., dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n =: \alpha \end{eqnarray*}$ existiert.
Berechne $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ indem Du, mit Hilfe der Grenzwertsätze, aus der Rekursionsgleichung eine Gleichung in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gewinnst und auflöst.

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