Vollständige Induktion bei Ungleichung Produkt >= Summe

16.11.2011, 14:20

Vollständige Induktion bei Ungleichung Produkt >= Summe

Meine Frage:
Ich will eine Aufgabe mit Hilfe der vollständigen Induktion lösen und verstehen.

Allerdings habe ich bis jetzt keine Aufgaben mit Produkten und erst recht mit Ungleichungen gemacht.

Nun zur Aufgabe:

Für reele Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ , die größer als -1 sind und alle gleicher Vorzeichen haben, zeige man

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n (1+x_i)\geq 1+\sum\limits_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich will das mit Vollständiger Induktion lösen.

Ich habe zusätzlich folgende Hinweise bekommen: Im IS mach besser KEINE Äquivalenzumformungen, sondern eine durchgehende Ungleichungskette, sonst geht das im Normalfall logisch schief. Außerdem stehen in der Aufgabenstellung zwei Voraussetzungen!! Die werden im Beweis auch gebraucht, also schreib bitte dazu, an welcher Stelle die beiden Voraussetzungen eingehen.

Was sind Äquivalenzumformungen?

Was ich bis jetzt habe:

Induktionsanfang

Für $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ habe ich es so gelöst:

für $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^1 (1+x_i)\geq 1+\sum\limits_{i=1}^1 x_i \newline (1+x_1) \geq 1+x_1 1+x_1 = 1+x_1 \end{eqnarray*}$

Also die Aussage passt.

Induktionsschluss

Für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=n+1}^{n+1} (1+x_{n+1})\geq 1+\sum\limits_{i=n+1}^{n+1} x_{n+1}\\ \prod\limits_{i=n}^{n} (1+x_{n}) \cdot (1+x_{n+1})\geq 1+\sum\limits_{i=n}^{n} (x_{n}) + (x_{n+1})\\ \end{eqnarray*}$

Ab hier gehts bei mir nicht weiter.

Meine Überlegung ist, dass man Produktzeichen zur Fakultät irgendwie ändert etc.
Was mich sehr verwirrt ist das x mit einem Index da ist und nicht einfach ein Buchstabe,
also $\begin{eqnarray*} x_1, x_n, x_{n+1} \end{eqnarray*}$ statt einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre für jede Hilfestellung bzw. Erklärung sehr dankbar!

RB

16.11.2011, 14:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion bei Ungleichung Produkt >= Summe

Zitat:

Original von RB
Was sind Äquivalenzumformungen?

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die sozusagen "vorwärts" wie "rückwätrs" funktionieren, also A <==> B . Hier ist es so, daß aus A die Aussage B folgt und umgekehrt.

Zitat:

Original von RB
Für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=n+1}^{n+1} (1+x_{n+1})\geq 1+\sum\limits_{i=n+1}^{n+1} x_{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Ersetze mal in der Ausgangs-Behauptung alle n durch n+1, aber nicht alles, was dir in den Weg kommt.

16.11.2011, 14:37

Auf diesen Beitrag antworten »

Editieren geht leider nicht mehr...

16.11.2011, 14:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Macht nichts, dann formuliere den Induktionsschluß in einem neuen Beitrag.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion bei Ungleichung Produkt >= Summe

Verwandte Themen