Konjugationsklassen der Quaternionengruppe

16.11.2011, 19:31	Highlander1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugationsklassen der Quaternionengruppe Meine Frage: Hallo! Ich habe als Aufgabe, die Konjugationsklassen der Quaternionengruppe zu bestimmen und die Klassengleichung aufzustellen. Meine Ideen: Leider fehlt mir hier noch ziemlich das Verständnis. 1. Die Quaternionengruppe kenne ich: Q = {+/- 1, +/- I, +/-J, +/-K} wobei durch I, J, K Matrizen gegeben sind. 2. Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt (Wikipedia) Okay. Soweit ist das noch in etwa klar. Aber wie erhalte ich durch Anwendung der Operation verschiedene Konjugationsklasse und welche Operation ist hier überhaupt gemeint? Vielen Dank!
16.11.2011, 20:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jedes Element liegt in einer Konjugationsklasse. Nehmen wir z.B. die Konjugationsklasse von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Diese erhältst du, wenn du alle möglichen Produkte $\begin{eqnarray} XIX^{-1} \end{eqnarray}$ bildet, wobei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine beliebige Quaternionenmatrix ist. So sind die Konjugierten von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ gerade erklärt. So liegt z.B. $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ selbst in dieser Klasse (nimm für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ). Nehmen wir dann für $\begin{eqnarray} X=K \end{eqnarray}$ . Es wäre also $\begin{eqnarray} KIK^{-1} \end{eqnarray}$ zu berechnen. Wegen $\begin{eqnarray} K^2 = -1 \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} K \cdot (-K) = -K^2 = 1 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} -K \end{eqnarray}$ das Inverse von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Deswegen geht es so weiter: $\begin{eqnarray} KIK^{-1} = KI(-K) = -KIK = -(KI)K = -JK = -I \end{eqnarray}$ Somit ist auch $\begin{eqnarray} -I \end{eqnarray}$ ein Konjugiertes von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Jetzt mußt du schauen, ob sich bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} XIX^{-1} \end{eqnarray}$ weitere Elemente außer $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -I \end{eqnarray}$ ergeben, wenn du für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die ganzen Quaternionen durchgehst (wir haben ja erst zwei Fälle behandelt, nämlich $\begin{eqnarray} X=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X=K \end{eqnarray}$ ). Das machst du so lange, bis sich nichts Neues mehr ergibt. Dann hast du die Konjugierten von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , deine erste Konjugiertenklasse. Wenn unter den Konjugierten von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ noch nicht alle Quaternionen vorkamen, nimmst du eine neue Quaternion und berechnest deren Konjugierte. So bekommst du eine zweite Konjugationsklasse. Und so geht das weiter. Und das machst du so lange, bis alle Quaternionen aufgebraucht und einer Konjugationsklasse zugewiesen sind. Dann hast du $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ in die Konjugationsklassen zerlegt.
16.11.2011, 21:14	Highlander1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Reicht es wenn ich jeweils I, J, K habe oder muss ich sowohl I also auch -I und J und -J etc. haben? Und wie schreibt man diese Klasse wenn man ihre Elemente hat ganz formal auf? Was genau versteht man unter einer Klassengleichung? Ich werde dann mal alle Fälle durchgehen!
16.11.2011, 22:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt die Quaternionen den verschiedenen Klassen zuweisen. Wie wir schon gesehen haben, gilt für die Klasse $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ , in der $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ liegt: $\begin{eqnarray} K_1 = \left\{ I,-I,\ldots \right\} \end{eqnarray}$ Du zählst dazu einfach die Elemente der Klassen auf. Zur Illustration eine FALSCHE Lösung: $\begin{eqnarray} Q = \underbrace{\left\{ I,-I,1 \right\}}_{K_1} \cup \underbrace{\left\{ J,-J,-1 \right\}}_{K_2} \cup \underbrace{\left\{ K,-K \right\}}_{K_3} \end{eqnarray}$ Hier würde $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ in drei Klassen zerfallen mit $\begin{eqnarray} 3,3,2 \end{eqnarray}$ Elementen. Die Klassengleichung wäre also $\begin{eqnarray} 3+3+2=8 \end{eqnarray}$ . Daß die Lösung falsch ist, habe ich schon gesagt. Allein schon deshalb ist sie es, weil die Mächtigkeit einer Klasse ein Teiler der Gruppenordnung sein muß. $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ kann also kein Summand der Klassengleichung sein.
16.11.2011, 22:59	Highlander1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay! Danke! Ich habe jetzt alles soweit einmal durchgerechnet und komme auf folgende Ergebnisse: K1 = {I, -I} K2 = {K, -K} K3 = {J, -J} K4 = {-1, 1} Damit ist die Anzahl der Konjugationsklassen 4! Die Klassengleichung wäre somit 2 + 2 + 2 + 2 = 8! Würde passen! Stimmt das so? Gruß
16.11.2011, 23:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ gehören nicht derselben Konjugationsklasse an. Da $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ im Zentrum $\begin{eqnarray} Z(Q) \end{eqnarray}$ der Gruppe liegt (die negative Einheitsmatrix ist mit jeder anderen Matrix multiplikativ vertauschbar), folgt für jedes $\begin{eqnarray} X \in Q \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} X \cdot (-1) \cdot X^{-1} = XX^{-1} \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1 \end{eqnarray}$ Damit liegt $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ allein in seiner Konjugationsklasse. Es gibt somit fünf Konjugationsklassen. Deine ersten drei stimmen. $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bilden jeweils einelementige Konjugationsklassen. Dann wäre also die Klassengleichung $\begin{eqnarray} 2+2+2+1+1 = 8 \end{eqnarray}$ . Die Elemente von einelementigen Klassen bilden aber gerade das Zentrum. Es ist üblich, diese Klassen zusammenzufassen: $\begin{eqnarray} Z(Q) = \underbrace{\{ -1 \}}_{K_4} \cup \underbrace{\{ 1 \}}_{K_5} \end{eqnarray}$ In diesem Sinne lautet dann die Zerlegung: $\begin{eqnarray} Q = K_1 \cup K_2 \cup K_3 \cup \underbrace{Z(Q)}_{K_4 \cup K_5} \end{eqnarray}$ und die Klassengleichung: $\begin{eqnarray} 2+2+2+2 = 8 \end{eqnarray}$ Die letzte $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ repräsentiert dabei zwei einelementige Konjugationsklassen: $\begin{eqnarray} 2 = 1+1 \end{eqnarray}$ .
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16.11.2011, 23:54	Highlander1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Vielen Dank für die Hilfe!

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