Verteilungsfunktion

18.11.2011, 16:41

ChronoTrigger

Verteilungsfunktion

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,P) \end{eqnarray*}$ . Für die zugehörige Riemann-Dichte $\begin{eqnarray*} f_X: \mathbb R \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ gelte:
$\begin{eqnarray*} f_X(-x)=f_X(x), x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X: \mathbb R \to [0,1] \end{eqnarray*}$ von X gilt:
a) $\begin{eqnarray*} F_X(-x)=1-F_X(x), x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} F_X(0)=\frac12 \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Wenn ich eine Riemann-Dichte habe, dann ist die Verteilungsfunktion durch $\begin{eqnarray*} F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt \end{eqnarray*}$ gegeben und mit der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f_X(x)=f_X(-x) \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x f_X(t)dt = \int_{-\infty}^x f_X(-t)dt \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist f ja noch eine Riemann-Dichte, d.h. $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt = 1 \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} F_X(-x)=\int_{-\infty}^{-x} f_X(t)dt= \int_{-\infty}^{-x}f_X(-t)dt \end{eqnarray*}$

Ich sehe allerdings momentan noch nicht, wie mich das weiterbringt.

Kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.

edit: ich habe nun nochmal ein wenig weiterüberlegt, und bin auf folgendes zur a) gekommen:

$\begin{eqnarray*} 1-F_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(t)dt - \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt = \int_x^{\infty} f_X(t)dt = \int_x^{\infty} f_X(-t) dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{b \to \infty} \int_x^b f_X(-t)dt \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} u:=-t \end{eqnarray*}$ substituiere, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_x^b f_X(-t)dt = \lim_{b \to \infty} -\int_{-x}^{-b} f_X(u) du = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{-x} f_X(u) du = \int_{-\infty}^{-x} f_X(u) du = F_X(-x) \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 18:47

lokalkompakt

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Die a) sieht richtig aus.

Hast du denn 'nen Ansatz zur Aufgabe b)? Wenn nein Versuch's mal mit:

$\begin{eqnarray*} F_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{0}f_x(t)~dt=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_x(t)~dt-\int\limits_{0}^{\infty}f_x(t)~dt \end{eqnarray*}$

und dann weitermachen Augenzwinkern

20.11.2011, 19:11

ChronoTrigger

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danke.

aber ich vermute, dass dieser Ansatz zur b) schon viel zu kompliziert gedacht ist, denn:

nach a) weiß man, dass $\begin{eqnarray*} F_X(-x)=1-F_X(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, also insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann $\begin{eqnarray*} F_X(0)=1-F_X(0) \Leftrightarrow 2 F_X(0)=1 \Leftrightarrow F_X(0)=1/2 \end{eqnarray*}$

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