Kleiner Fermat (Anwendung von Lagrange)

18.11.2011, 19:19

Raventh

Kleiner Fermat (Anwendung von Lagrange)

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} a\in F^*_p. \end{eqnarray*}$ Zeigen sie $\begin{eqnarray*} a^{p-1}=1\in F^*_p \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also, mir ist klar, dass wenn ich a aus diesem Körper nehme, a entweder die Ordnung 1 hat und damit selbst 1 ist, oder dass a die Ordnung p haben muss, da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von a die Ordnung der Gruppe teilen muss, welche hier gleich p ist.
Wenn a=1 ist, ist das ganze ja trivial, aber wenn a ein beliebiges Element ist, hab ich Schwirigkeiten. Ich hab natürlich schon gegooglet und gefunden dass obige Aussage eine direkte Folge aus dem Satz von Lagrange sein soll, in dem man ihn auf die von a erzeugte Untergruppe anwendet. Das ist mir allerdings völlig schleierhaft. Wie folgt aus dem Satz von Lagrange, dass $\begin{eqnarray*} a^{p-1} \equiv 1\; mod\; p \end{eqnarray*}$ ?

18.11.2011, 20:16

galoisseinbruder

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RE: Kleiner Fermat (Anwendung von Lagrange)

Zitat:

Original von Raventh

Also, mir ist klar, dass wenn ich a aus diesem Körper nehme, a entweder die Ordnung 1 hat und damit selbst 1 ist, oder dass a die Ordnung p haben muss, da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von a die Ordnung der Gruppe teilen muss, welche hier gleich p ist.

Hier liegt Dein Problem. Die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_p^*,\cdot ) \end{eqnarray*}$ hat nicht p Elemente sondern?

18.11.2011, 22:21

Raventh

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Ach, stimmt ja. 0 ist draußen und p ist ja wieder 0 mod p, das hab ich voll verpennt. Tja, Brett vorm Kopf, $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^*_p \end{eqnarray*}$ hat dann ja nur p-1 Elemente.
D.h. $\begin{eqnarray*} a^\vert{\mathbb{F}^*_p}\;=\;1\;mod\;p \end{eqnarray*}$ . Das bringt mich jetzt aber noch nicht so viel weiter. Ich sehe nach wie vor keine Möglichkeit, das aus dem Satz von Lagrange zu schlussfolgern, da der mir ja nur sagt, dass die Ordnung von a gleich der Ordnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^*_p \end{eqnarray*}$ sein muss. Wie komme ich jetzt von da auf die Behauptung?

18.11.2011, 22:36

galoisseinbruder

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Ich zitiere wieder Dich

Zitat:

da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von a die Ordnung der Gruppe teilen muss,

18.11.2011, 22:54

Raventh

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Das sagt mir ja nur, dass die Ordnung von a, also p-1, die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}^*_p \end{eqnarray*}$ , ebenfalls p-1, teilt. Dass p-1 Teiler von p-1 ist, ist ja klar, aber das bringt mich ja keinen Schritt weiter, ich will ja eine Aussage für $\begin{eqnarray*} a^{p-1} \end{eqnarray*}$ und nicht für die Ordnung von a.

19.11.2011, 00:01

galoisseinbruder

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Wie ist Ordnung definiert? Und $\begin{eqnarray*} a^k\equiv 1 \end{eqnarray*}$ ist eine Aussage über die Ordnung von a.

19.11.2011, 09:56

Raventh

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Äh, jaa, jetzt merk ichs auch.
Die Ordnung von a ist die Ordnung der von erzeugten Untergruppe bzw. äquivalent die kleinste natürliche Zahl n, so dass $\begin{eqnarray*} a^n\;=\;1 \end{eqnarray*}$ .
Und da ich mit dem Satz von Lagrange folgern kann, dass die Ordnung entweder 1 oder p-1 ist, ist klar dass $\begin{eqnarray*} a^{p-1} \end{eqnarray*}$ immer eins ergeben wird...
Manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Naja, Dank dir auf jeden Fall, dass du so viel Geduld hattest smile

Mfg
Raventh

19.11.2011, 11:13

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Raventh
Und da ich mit dem Satz von Lagrange folgern kann, dass die Ordnung entweder 1 oder p-1 ist, ist klar dass $\begin{eqnarray*} a^{p-1} \end{eqnarray*}$ immer eins ergeben wird...

Das ist leider falsch: Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} 4^2\equiv 1 \mod 5 \end{eqnarray*}$ , alsp $\begin{eqnarray*} ord(4)=2 \neq 5-1 \end{eqnarray*}$ .
Aus dem Satz von Lagrange folgt $\begin{eqnarray*} ord(a)| |G| \end{eqnarray*}$ , so weit so richtig.
Anders formuliert $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: ord(a)\cdot k = |G| \end{eqnarray*}$ , also ist
$\begin{eqnarray*} a^{p-1}= a^{|G|} =(a^{ord(a)})^k \equiv 1^k \equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$

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