Gleichheit zweier Körpererweiterungen

18.11.2011, 19:26

Kimi_R

Gleichheit zweier Körpererweiterungen

Hallo,

es wäre toll, wenn sich mal jemand folgende Aufgabe ansehen könnte. Habe bereits einen Lösungsansatz (siehe unten). Bin mir aber nicht sicher, in wie weit dieser nützlich ist.

Zur Aufgabe:
Voraussetzung: Gegeben sei
$\begin{eqnarray*} f(X)=X^3-2X+2, \; f(\alpha)=0, \; \beta:= \alpha^2+1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: f ist irreduzibel (Hab ich schon)
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta) \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist die Inklusion
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\beta) \subset \mathbb{Q}(\alpha) \end{eqnarray*}$
Bei der anderen Richtung fehlt mir aber noch die Richtige Idee. Folgendes hab ich mir schon überlegt

1) Es genügt zu zeigen
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\alpha] \subset \mathbb{Q}[\beta] \end{eqnarray*}$
2) Für Polynome die nur gerade Potenzen von Alpha enthalten ist die Behauptung klar.
Insbesondere könnte man Polynome ja in gerade und ungerade Potenzen aufteilen und bei den ungeraden ein Alpha ausklammern (bringt aber wohl nix^^)

Probiert habe ich Folgendes:
$\begin{eqnarray*} 0=f(\alpha)=\alpha^3-2* \alpha+2 = \alpha*(\beta-1)-2*\alpha+2 \ldots \Rightarrow \alpha=- \frac{2}{\beta-3} \end{eqnarray*}$
Ist die Aufgabe damit schon gelöst beziehungsweise bringt mir das etwas?

Besteht eigentlich ein Zusammenhang zwischen den beiden Teilaufgaben, also das f irreduzibel ist und der Gleichheit der beiden Körpererweiterungen

18.11.2011, 20:30

galoisseinbruder

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RE: Gleichheit zweier Körpererweiterungen
Hallo,

damit

Zitat:

Original von Kimi_R

$\begin{eqnarray*} 0=f(\alpha)=\alpha^3-2* \alpha+2 = \alpha*(\beta-1)-2*\alpha+2 \ldots \Rightarrow \alpha=- \frac{2}{\beta-3} \end{eqnarray*}$

hast Du $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{Q}(\beta) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} (\alpha) \subseteq \mathbb{Q} (b) \end{eqnarray*}$ geziegt.

Wenn f reduzibel wäre, könnte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ rational sein und die Aufgabe wäre witzlos.

19.11.2011, 18:07

Kimi_R

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Vielen Dank für deine gewohnt hilfreiche Antwort galois. Dann hatte ich die Aufgabe ja bereits gelöst. War mir aber wie gesagt ziemlich unsicher unsicher.
Dann stell ich meine nächste Frage gleich hier rein.

Zur Aufgabe: Sei L|K eine Körpererweiterung und a in L* algebraisch

b aus K[a] sei beliebig. Zeigen sie, dass sich die Inverse von b als K-Linearkombination von 1, b, b^(n-1) darstellen lässt, d.h. das gilt:

$\begin{eqnarray*} b^-1= \sum\limits_{k=0}^{n-1} \lambda_k*b^k, \lambda_i \in K, 1\leq i \leq n-1 \end{eqnarray*}$

und folgern sie das b in K[a] invertierbar ist.

Was wir zusätzlich wissen: Zur Aufgabe gegeben ist das Minimalpolynom zu unserem a,
$\begin{eqnarray*} X^n+a_{n-1}*X^{n-1}+...+a_0 \end{eqnarray*}$

Und ich habe bereits in der vorherigen Teilaufgabe gezeigt, dass a in K[a] invertierbar ist und sich als K-Linearkombination von 1, a, ... a^(n-1) darstellen lässt

Irgendwie fehlt mir hier völlig der Zugang zur Aufgabe:
Da b in K[a] ist b ja von der Form

$\begin{eqnarray*} b= \sum\limits_{k=0}^{n-1} \mu_k*a^k, \mu_i \in K, 1\leq i \leq n-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich davon jetzt die höheren Potzenzen bilde, also b^2,...,b^(n-1) seh ich nicht, wie mir das hilft, mein b^-1 zu finden verwirrt

Ich bekomm dann ja nur unheimlich große Potenzen von meinem a

19.11.2011, 18:18

galoisseinbruder

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Ich würde einen etwas anderen Weg einschlagen:
Da a algebraisch ist die Erweiterung $\begin{eqnarray*} K(a)/K \end{eqnarray*}$ endlich.
Den Rest überlasse ich mal Dir.

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