Konvergenz

19.11.2011, 09:13

PeerStoney

Konvergenz

Sei $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ eine beliebige reelle Zahlenfolge und $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ eine reelle, streng monoton gegen unendlich wachsende, Zahlenfolge.

Konvergiert nun

$\begin{eqnarray*} \frac{u_{n+1}-u_n}{ v_{n+1}-v_n} \end{eqnarray*}$

so konvergiert auch

$\begin{eqnarray*} \frac{u_n}{v_n} \end{eqnarray*}$

und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{ v_{n+1}-v_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}. \end{eqnarray*}$

Soweit die Aussage, die ich gerne beweisen möchte.
Leider habe ich nicht die leiseste Ahnung wie das zu beweisen wäre.
Ich finde einfach keinen Weg die beiden Quotienten in Zusammenhang zu bringen.

Help!

19.11.2011, 19:50

PeerStoney

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RE: Konvergenz
Hmh, hat denn keiner ne Idee?
traurig

19.11.2011, 20:47

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} w_n := \frac{u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}} \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} w := \lim_{n\to\infty} w_n \end{eqnarray*}$ . Nun ist

$\begin{eqnarray*} u_n = u_{n_0} + \sum_{k=n_0}^{n-1} (v_{k+1}-v_{k})w_k \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Unter Zuhilfenahme dieser Gleichung und basierend auf der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (w_n) \end{eqnarray*}$ lässt sich nun mit etwas Epsilontik die geforderte Aussage beweisen.

Ein möglicher Start eines solchen Beweises:

Wir wählen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ erstmal so, dass $\begin{eqnarray*} |w_n-w|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt nun

$\begin{eqnarray*} \left| u_n - u_{n_0} - (v_{n}-v_{n_0})w \right| = \left| u_n - u_{n_0} - \sum_{k=n_0}^{n-1} (v_{k+1}-v_{k})w \right| \leq \sum_{k=n_0}^{n-1} (v_{k+1}-v_{k})\cdot \frac{\varepsilon}{2} = (v_{n}-v_{n_0})\cdot \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2011, 08:45

PeerStoney

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Vielen dank hal9000!
Ich werde mal über deinen ansatz nachdenken.

25.11.2011, 09:35

PeerStoney

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Okay,
nach Voraussetzung gibt es zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so daß für alle n> $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |\frac{u_n-u_{n_0}}{v_n-v_{n_0}}-w|<\frac{\epsilon}2 \end{eqnarray*}$

So weit, so gut.

Vermutlich per Dreiecksungleichung will ich ja irgendwie zu so etwas kommen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{u_n}{v_n}-w|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Ich sehe gerade nicht wie die andere Abschätzung aussehen muss... ?)

27.11.2011, 18:29

chi

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Konvergenz
die Aufgabenstellung ist nicht ganz richtig, kannst du das korrigieren

27.11.2011, 19:43

PeerStoney

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von chi
die Aufgabenstellung ist nicht ganz richtig, kannst du das korrigieren

Das müsstest du jetzt schon genauer sagen.
Was soll denn an der Aufgabenstellung falsch sein???

27.11.2011, 20:05

chi

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RE: Konvergenz
vielleicht irre ich mich aber bei mir steht jedenfalls was von R* (also Hyperreelle Zahlen soweit ich weiß)
Könnte aber sein, dass unsere Aufgaben nur ähnlich sind und nicht gleich.
Die Schlussfolgerung von Hal 9000 habe ich mir angeschaut und komme zum Schluss, dass er etwas beweißt, was er jedoch schon voraussetzt.
Irre ich mich hier?

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