zahlentheoretische Fragen

08.01.2007, 16:35

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

zahlentheoretische Fragen

Also habe mal ein paar nachfragen...
bestimmen soll ich alle Teiler von 4+7i im Ring der Gaußschen Zahlen.

nun habe ich gesagt

$\begin{eqnarray*} 4+7i=\alpha *\beta \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \end{eqnarray*}$ aus dem Gaußschen Ring sind.

Nun folgt
$\begin{eqnarray*} N (4+7i)=65=N(\alpha *\beta)=N(\alpha)N(\beta) \end{eqnarray*}$
nun folgt weiter
$\begin{eqnarray*} 65=N(\alpha)N(\beta)= a*b \end{eqnarray*}$ a,b aus N

nun kann a und b nur 5 oder13 annehmen.

daraus folgt
$\begin{eqnarray*} N(\alpha)=13, N(\beta)=5 \end{eqnarray*}$ ,da 13 und 5 kongruent zu 1 mod 4 sind, gibt es nur 2 unterschiedliche moeglichkeiten fuer $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$

es folgt

$\begin{eqnarray*} N(\alpha)=13=3^2+2^2=(3+2i)(3-2i)=(2+3i)(2-3i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N(\beta)=5=2^2+1^2=(2+i)(2-i)=(1+2i)(1-2i) \end{eqnarray*}$

nun sind teiler von 4+7i

$\begin{eqnarray*} \alpha=3+2i, \beta=2+i \end{eqnarray*}$ .....ist das soweit richtig und wie begruende ich dass die anderen moeglichkeiten rausfallen...hab das hier nachgerechnet...

2 ter Teil
finde alle primfaktoren von 13, 21 , 7+12i

13 ist kongruent zu 1 mod 4 , daraus folgt: es gibt genau 2 Primelemente

$\begin{eqnarray*} 13=3^2+2^2=(3+2i)(3-2i)=(2+3i)(2-3i) \end{eqnarray*}$ also sind Primelemente:
$\begin{eqnarray*} x_1=3+2i ,x_2=2+3i \end{eqnarray*}$
ist jetzt 3-2i auch Primelement oder gibt man das nicht an weil es aus dem konjugierten logisch folgt ?!

$\begin{eqnarray*} 21=7*3 \end{eqnarray*}$ und 7 ,3 sind kongruent zu 3 mod 4 und daraus folgt: Die Primzahlen 3 und 7 sind auch Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.

$\begin{eqnarray*} N(7+12i)=193=N(\alpha*\beta)=N(\alpha)N(\beta) \end{eqnarray*}$ da 193 Primzahl ist muss
$\begin{eqnarray*} N(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(\beta)=1 \end{eqnarray*}$ und damit ist 7+12i schon Primelement ,da $\begin{eqnarray*} N(\alpha)=193=(7+12i)(7-12i) \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Zerlegung ist....

ich hoffe,dass ist soweit richtig......gruß vom piloan

08.01.2007, 21:49

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner ne meinung dazu ?...das meiste ist ja gemacht Big Laugh

Big Laugh

15.01.2007, 14:28

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

ZZ:
$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{x^2-1}{2}=\frac{x^2+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+(\frac{x^2}{4}-1)^2=(\frac{x^2}{4}+1)^2 \end{eqnarray*}$

habe ich gemacht...war leicht.
nun soll ich weiter zeigen ,dass man daraus fuer gerade bzw ungerade x pythagoreische Tripel erzeugen kann.

habe mir gedacht stelle das um. definiere das um und man sieht leicht fuer ungerade x waehle ich die erste gleichung mit:

$\begin{eqnarray*} y:=\frac{x^2-1}{2} ,z:=\frac{x^2+1}{2} \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2 \end{eqnarray*}$ ...reicht das so ?...kann natuerlich noch zeigen,dass dies nur fuer ungerade x gilt aber das ist doch trivial oder ?....

und nun steht hier noch die frage, ob man daraus alle primitiven Tripel erhaelt?
bei so einer fragestellung wuerde ich erstmal nein tippen ...
aber x kann doch alle Zahlen aus Z annehmen und ich erhalte dann ein y und z in abhaengigkeit von x......da braeuchte ich mal einen hinweis.
gruß

15.01.2007, 15:19

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

?

15.01.2007, 15:25

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie unschwer zu erkennen ist, gilt $\begin{eqnarray*} z=y+1 \end{eqnarray*}$ bei dieser Konstruktion. Gib doch einfach ein pythagoräisches Tripel an, wo $\begin{eqnarray*} z>\max\{x,y\}+1 \end{eqnarray*}$ ist, für das ist dann klar, dass es nicht so entstanden ist!

Mit "primitiv" meinst du sicher, dass $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ teilerfremd sein sollen oder? Egal, kein Problem so ein Tripel zu finden.

15.01.2007, 22:35

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

also sehe ich das richtig, dass man mit diesen beiden termen alle primitiven Tripel finde ?....ja das meine ich uebrigens damit ...
und der erste teil ist fuer den beweis,dass nur ungerade zahlen auftreten koenne ... seh ich das richtig`?

Anzeige

15.01.2007, 22:36

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

MIt welchen beiden? Also mit denen in deinem letzten Beitrag jedenfalls nicht.

15.01.2007, 22:41

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von piloan
ZZ:
$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{x^2-1}{2}=\frac{x^2+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+(\frac{x^2}{4}-1)^2=(\frac{x^2}{4}+1)^2 \end{eqnarray*}$

ich dachte hiermit finde ich alle primitiven zahlen ,da x ja elemente aus ganz Z annehmen kann

15.01.2007, 22:42

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, na gut: Wie bringst du da (20,21,29) unter?

P.S.: Bei der ersten Gleichung fehlen aber zwei Quadrate, nicht wahr:

$\begin{eqnarray*} x^2+\left( \frac{x^2-1}{2} \right)^2 = \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 22:48

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal muss ich mich korrigieren...
$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{x^2-1}{2}=\frac{x^2+1}{2} \end{eqnarray*}$ das soll eigentlich

$\begin{eqnarray*} x^2+(\frac{x^2-1}{2})^2=(\frac{x^2+1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

und dann muss ich sagen ,dass ich (20,21,29)mit den 2 termen nicht darstellen kann..dann kann ich das ja als gegenbsp benutzen....
und der erste teil ist der dann richtig wie ich das gemacht habe...?

15.01.2007, 22:52

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du sowieso nicht alle Tripel erwischst und nur irgendeine Formel angeben sollst, die pythagoräische Tripel erzeugt, dann nimm doch nur die zweite und mach gleich klar, dass nur gerade x eingesetzt werden, indem du gleich x=2t setzt:

$\begin{eqnarray*} (2t)^2+(t^2-1)^2 = (t^2+1)^2 \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 23:10

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann hab ich das wohl verstanden....
weisst du vielleicht wie man eine quadratische Form
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=23x^3+73xy+58y^2 \end{eqnarray*}$ reduziert...ich weiss was reduziert bedeutet ...das hatten wir auch in der vorlesung aber sonst steh ich da voll aufm schlauch ...wir hatten kein bsp und nix ...mir wuerde auhc ein bsp reichen
gruß Wink

Wink

15.01.2007, 23:54

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich nicht als quadratische Form bezeichnen, wegen des $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ , ist das nur ein Schreibfehler und soll da eigentlich $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ hin?

"Reduzieren" sagt mir jetzt nichts in dem Zusammenhang, aber das heißt nichts: Ich kenne die Sprechweisen da nicht besonders gut.

16.01.2007, 11:25

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von piloan

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=23x^2+73xy+58y^2 \end{eqnarray*}$ reduziert...ich weiss was reduziert
gruß Wink

Wink

eine quadratische form
$\begin{eqnarray*} ax^2+bxy+cy^2 \end{eqnarray*}$ heisst reduziert,wenn $\begin{eqnarray*} |b|\leq a \leq c \end{eqnarray*}$

Gruß smile

smile

16.01.2007, 11:32

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit welchen Mitteln sollst/darfst du da reduzieren? Lineare Transformation der Variablen wie z.B. $\begin{eqnarray*} z=x+y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 23x^2 + 73xy + 58y^2 = 23(z-y)^2 + 73(z-y)y + 58y^2 = 23z^2 + 27zy + 8y^2 \end{eqnarray*}$

(Ok, das würde noch nicht reichen...), oder mit welchen Mitteln sonst? verwirrt

verwirrt

16.01.2007, 11:56

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

1.)Also die Diskriminante so einer binaeren quadratischen Form ist def. als
$\begin{eqnarray*} d(f)=b^2-4ac \end{eqnarray*}$

2.)jede bq Form f mit d(f) ungleich 0 ist zu einer reduzierten Form äquivalent

3.) Die Anzahl der reduzierten bq Foremn f mit einer Diskriminante d(f) ungleich 0 ist endlich, es gilt
$\begin{eqnarray*} b^2\leq |ac| \leq \frac{|d(f)|}{3} \end{eqnarray*}$

4.) 2 bq Formen f und g heißen äquivalent ,wenn es d,e,f,g element Z mit
dg-ef=+/-1 gibt ,sd

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(dx+ex,fx+gy) \end{eqnarray*}$ gilt. daraus folgt d(f)=d(g)

16.01.2007, 12:03

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kenne ich nicht - möglicherweise gibt es da Kriterien, wann die Überführung in eine reduzierte Form möglich ist...

Hast du denn da kein Verfahren kennengelernt? Kann ich mir kaum vorstellen.

16.01.2007, 12:17

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

ich probiere gerade was :-)...melde mich falls es klappt Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »