Polynome und Erzeugendensystem

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TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome und Erzeugendensystem
Meine Frage:
hallo liebe community =)

habe da eine Aufgabe , bei der ich nicht weiterkomme

hoffe ihr könnt mir dabei helfen

Sei R der Vektorraum der Polynome höchstens n: Grades.
Zeigen Sie dass E = (1+x+x²); (1+2x²); (1+3x+x²); (1+x)²) ein Erzeugendensystem von R ist.
Beweisen Sie, dass dieses Erzeugendensystem linear abhängig ist.
Geben Sie (mit
Beweis) eine Teilmenge von E an, die eine Basis von R ist.

Meine Ideen:
Also muss ehrlich zu geben wir hatten noch gar keine Beispiele dazu so dass ich nicht so weißwas man machen muss habe halt rumgegoogelt kam irgendetwas mti matrizen raus was ich selbst noch gar net weiß wie die gehen


vllt.
erstmal

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
Die Aufgabe ist im Grunde ganz einfach.

Gib mir mal ein Beispiel für ein Polynom vom Maximalgrad 2. Wie viele Koeffizienten hat es dann?

Schlag mal den Begriff: Monombasis nach. Wie lautet die hier?

Wie kann man nun dein "E" mittels Koordinatenvektoren schreiben?

Wie bestimmt man von Koordinatenvektoren - (1,2,3) als Beispiel - ob sie lu sind?

Wie viele Vektoren können in einem Raum gewisser Dimension maximal lu sein?

usw.
 
 
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
also maximalgrad 2 wäre

ax²+bx+c

monombasis zum ersten mal gehört wie du meintest gegooglet ehm

monombasis { 1,x,x²}

wäre die dim hier = 3?

e mittels koordinatenvektoren hm =D


war meine idee eigentlich richtig ?^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
Guck, es wird doch schon wärmer.

Dimension ist 3, und die Monombasis kennst du nun auch. Wir wollen sie nun aber geordnet angeben. B1=1, B2=x, B3=x². So, bezüglich dieser Einteilung, wie lautet der Koordinatenvektor von

1+x+x² => ( , , )
1+2x² => ( , , )
1+3x+x² => ( , , )
(1+x)²= .... => ( , , )

Dann geht es weiter.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
also ehm

koordinaten (v1,v2,v3) v= vektor
also (1,x,x²) ?
(1,2x²,0)
(1,3x,x²)
(x², 2x,1)?^^


sry aber ich weiß nicht xD so genau das was ich angegeben habe ist glaube ich die basis jeweils zu den gleichungen ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
Nein. In einen Koordinatenvektor kommen doch nicht Vektoren rein, sondern nur die Koeffizienten der Linearkombination.

B1=1, B2=x, B3=x²

1+x+x²=1*1+1*x+1*x² => (1,1,1)
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
ach ich dussel -.- genau
(1,1,1)
(1,3,1)
(1,2,1)

dann =/
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
Zitat:

1+x+x² => ( , , )
1+2x² => ( , , )
1+3x+x² => ( , , )
(1+x)²= .... => ( , , )


Es gab 4 Vektoren, die du nun vielleicht in vertrauter Form vor dir hast. Warum kann ich ohne Rechnung sagen: Die sind linear abhängig?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
(1,1,1)
(1,3,1)
(1,2,1)
(1,1,0)

weil die nciht gleich 0 ergeben ? wenn man die addiert? weil wen diese koeffizienten 0 ergeben sind die linear unabhängig soweit ich weiß
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome und erzeugendensystem
Nein. Du hast dich mit

Zitat:
Wie viele Vektoren können in einem Raum gewisser Dimension maximal lu sein?


noch nicht befasst.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Vektoren können in einem Raum gewisser Dimension maximal lu sein? hm

...ist linear unabhängig genau dann, wenn der Nullvektor sich nur durch die triviale Linearkombination darstellen lässt,

also eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Menge ... ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
...ist linear unabhängig genau dann, wenn der Nullvektor sich nur durch die triviale Linearkombination darstellen lässt,


Ja. Nur nun denk mal nach. Wir haben hier Dimension 3. Wie ist die Dimension definiert? Können also 4 Vektoren hier lu sein?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

kurze überlegung

höchstens 2 grades also 4 können doch gar net sein ist ja schon definiert man kann nur 3 dimension haben und die lassen sich nicht sich nicht durch triviale Linearkombination darstellen also das mit dem nullvektor
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Geht dieser Satz auch grammatikalisch korrekt. unglücklich Bislang sind es "Gedankenbrösel"
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

sry

Also es ist ja so, dass wir gesagt haben bis zur dimension= 3 weil ja die definition vom erzeugendensystem " maximal 2. grades" ist und dann können doch gar nicht 4 vektoren lu sein weil es doch nur dim=3 ist nicht dim=4 und abgesehen davon sind unsere
(1,1,1)
(1,3,1)
(1,2,1)
(1,1,0) ungleich 0 ---> linear abhängig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wir haben einen Vektorraum mit Dimension 3. Laut Definition ist also 3 die maximale Zahl an linear unabhängigen Vektoren, die diesen Raum erzeugen. Somit kann man jeden Vektor als Linearkombination dreier Basisvektoren darstellen. 4 oder mehr linear unabhängige Vektoren stehen hierzu im Widerspruch.

=> Ohne Rechnung: (diese) 4 Vektoren sind la.

Zitat:
Beweisen Sie, dass dieses Erzeugendensystem linear abhängig ist.


Offen ist allerdings die Frage, ob die 4 Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Wie willst du dies nachweisen?

Tipp: Rang einer bestimmten Matrix bestimmen.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

muss erstmal den satz von dir verdauen, checke noch nicht das diese 4 vektoren la sind.

also laut definition haben wir einen vektorraum mit dim 3

und da wir 4 vektoren haben ist das ein widerspruch --> la? richtig verstanden?




ehm rang einer bestimmten matrix also z.B.

1 1 1
1 3 1
1 2 1
1 2 1


?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Verktorraum hat unendlich viele Vektoren. Er hat aber nur die endliche Dimension 3. Nun zitiere mir mal im OT die Definition von Dimension.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anzahl der Elemente der Basis heißt Dimension / Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann meine Frage nach einem Zitat mit einer Frage beantwortet werden. unglücklich

Danach wäre zu nennen, wie die Definition der Basis lautet.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Familie der Vektoren v1,...,vn heißt Basis des Vektorraums V wenn die einzelnen Vektoren der Familie ein linear unabhängiges erzeugendensystem bilden


oder besser gesagt

Die Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Basis ist also kurz: lu und erzeugt den Raum. Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension. Warum können also 4 Vektoren hier nicht lu sein?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du schon meintest, weil wir ja Dimension= 3 haben und das würde bedeuten das maximal 3 basisvektoren lu sind, da wir 4 haben , können die nicht lu sein. Das wäre ein widerspruch


oder?^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, klingt mir noch nicht richtig verstanden. Denk da noch mal drüber nach.

Wir machen nun mit der Aufgabe weiter.

Zitat:

Offen ist allerdings die Frage, ob die 4 Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Wie willst du dies nachweisen?

Tipp: Rang einer bestimmten Matrix bestimmen.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Also stellt man nicht erstmal die matrix für diese 4 vektoren auf? wie ich es vorhin gemacht habe und dann jeweils die zeilen ??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ehm rang einer bestimmten matrix also z.B.

1 1 1
1 3 1
1 2 1
1 2 1


Ja, welchen Rang hat sie?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

sry muss erstmal googlen und das problem ist verstehe gar nicht was die mir da verklicken wollen
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

ne komme gar net klar sry =/ schaue mal youtube rein^^ gibs ja tuts
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Im i-net steht was von einem dreiecksform , das man zeilen
vertauschen , subtrahieren, multiplizeren kann oder so und das dann

irgendwie sowas hier : ...^^

a a a
a a a
0 a a
0 0 a


wenn ich jetzt subtrahiere

also 3. zeile - 4. zeile kommt doch

1 1 1
1 3 1
0 0 0
0 0 0

also rang 2?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sauberes Arbeiten ist oberste Grundlage.

1+x+x² => (1 ,1 ,1 )
1+2x² => (1 ,0, 2)
1+3x+x² => (1 ,3 ,1 )
(1+x)²= .... => (1 ,2 ,1 )
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

warum steht bei 1+2x² (1,0,1) ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Koeffizient hat der Basisvektor x hier?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

0 , und 2x² = 1= wieso das?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe jetzt das versucht, was ich so im i-net gelesen habe
und zwar haben wir ja

1 1 1
1 0 1
1 3 1
1 2 1 habe gesagt 3 zeile - 4 zeile


kommt dann das hier raus ode?

1 1 1
1 0 1
1 3 1
1 0 1

dann meinte ich 2 zeile minus 4. teile kommt doch dann das hier raus
1 1 1
1 0 1
1 3 1
0 0 0

rang der 3. ordnung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tippfehler.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

achso hast dich vertippt also dann

rang 3. ordnung ?


1 1 1
1 2 1
1 3 1
1 2 1

einach 2 zeile - 4 zeile

1 1 1
1 2 1
1 3 1
0 0 0


?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

111
102
131
121

So, nun aber den Gauss bitte richtig. Nullen erzeugen.

111
0-11
020
010

Nun die nächste Spalte.

111
01-1
002
001

Und am Ende


111
01-1
001
000

=> Rang 3.

Sind die Vektoren nun ein Erzeugendensystem?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich mich nicht irre

ja aber die begrüundung fällt mir schwer^^


dachte hast einen tippfehler gemacht bezüglich 2x²=1?

111
112
131
121
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der Rang 3 sagt was über die 4 Vektoren aus? Und das steht dann in Bezug zu dem Erzeugnis.

Da kannst du mirgen ja noch mal drüber nachdenken. Man sollte sich mit dem Begriff "Bild" vertraut machen.


Zitat:

Geben Sie (mit
Beweis) eine Teilmenge von E an, die eine Basis von R ist.



[Artikel] Basis, Bild und Kern
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

bestätigt einfach der rang , das das erzeugendensystem durch 3 linear unab vektoren erzeugt wurde ^^ oder so?und das die 4 v. dann la sind?
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