Nullstellenberechnung komplexer Zahlen

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Nullstellenberechnung komplexer Zahlen
Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde,

Ich beschäftige mich nun seit einiger Zeit mit folgender Aufgabe:
Betrachte den Real- bzw. Imaginärteil der Gleichung e^i3t = (e^it)^3, um cos 3t bzw. sin 3t durch cos t und sin t auszudrücken?



Meine Ideen:
Bei einer Zahl z = x+ iy weiß ich sofort welches der Real und welcher der Imaginärteil ist.

Mein Ansatz:
(e^it)^3 =(cos(t) + i sin(t))³= 0,158 - 0,596 i
e^it3= cos(3t)+ sin(3t) i = -0,990 + 0,141 i

Ich habe t einfach mal als x gerechnet mit dem Taschenrechner...?!

Weiter weiß ich nicht...
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RE: Nullstellenberechnung komplexer Zahlen
Zitat:
Original von BOL!

Betrachte den Real- bzw. Imaginärteil der Gleichung e^i3t = (e^it)^3,
um cos 3t bzw. sin 3t durch cos t und sin t auszudrücken?


Mein Ansatz:
(e^it)^3 =(cos(t) + i sin(t))³ Freude = 0,158 - 0,596 i unglücklich
e^it3= cos(3t)+ sin(3t) i Freude = -0,990 + 0,141 i unglücklich

.


Tipp:
(a+b)^3 =..?.. (Binom ausrechnen)

und dann vergleichen:

Re(cos(t) + i sin(t))³ = Re(e^it3) = cos(3t)

Im(cos(t) + i sin(t))³ = Im(e^it3) = sin(3t)

fertig...


nebenbei:
kann es sein, dass du dir bei dem gewählten Titel irgendwas gedacht hast? :
Nullstellenberechnung komplexer Zahlen
?
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Vielen Dank für den netten Tipp! Gott Freude
Absolut hilfreich!

An 3. Binom. F. habe ich überhaupt nicht gedacht :-(

Ich versuche mal mein bestes^^


- ja, bei der Überschrift ist leider etwas reingerutscht von einer anderen Aufgabe.
Vielleicht hast du mir hier auch einen Hinweis:
Polynomdivision bei komplexen Zahlen funktioniert genau wie bei reellen Zahlen oder?
Was heißt das, wenn die Polynomdivision nicht voll aufgeht? (Habe es mit f(z)= z³-z²+z-1 probiert...(habe mit z+1 gearbeitet.


Ein anderes Problem habe ich auch bei folgender Aufgabe
Sei f: C-->C, f(z)= z1 (z-z0) + z0 die Drehung von C, die den Punkt 0 auf 1+i abbildet und den Punkt 2i auf i - 1. Bestimme z0 und z1, indem die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden und gib f an. Wohin werden die Punkte 2 und 1-i abgebildet?

Hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz - ich verstehe schlichtweg nicht, was gefragt ist?
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
Hier mal meine Zwischenergebnisse:

(a+b)^3= a³+3a²b+3ab²+b³ (?)

ausgehend davon habe ich wie folgt gerechnet

Re: (e^it)³ = 3 cos(t)³ +3cos(t)² * i *sin(t) + 3 cos(t) * i²*sin(t)² + i³*sin(t)³ = 3

wobei
Re: e^it3 = (cos(3t))³+ i³* sin(3t)³ = 1 ist oder?

d.h. und jetzt? das ist doch nicht beides gleich?
Ebenso mit den gleichen Zahlen für den Imaginärteil`?

Irgendwas stimmt dabei doch nicht...Hilfe.
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RE: Re
Zitat:
Original von BOL!

... habe ich wie folgt gerechnet

Re: (e^it)³ = 3 cos(t)³ +3cos(t)² * i *sin(t) + 3 cos(t) * i²*sin(t)² + i³*sin(t)³ = 3 geschockt



hast du schon mal davon gehört, was das i bedeutet?

Tipp:
es ist i^2 = -1
i^3= ?

und was stellst du dir unter den seltsamen Begriffen "Realteil" und "Imaginärteil" vor?
Beispiel:
bei z= 3+4i
ist Im(z)= 4

und jetzt denke bitte nochmal über deine Aufgabe nach..
Vorschlag:
lies dich vorher irgendwo mal ein zum Thema komplexe Zahlen
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
http://www.komplexe-zahlen.de/
usw.. google selbst ..
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »

Was i bedeutet weiß ich schon, und i^3 ist -i.

Damit habe ich auch in genanntem Term gerechnet. Aber bei mir gibt sin(t) = 0 und damit die Abschnitte mit den i auch. Soll ich meine Rechnung nochmal ausführlich ausführen, vll. siehst du dann wo mein Denkfehler ist.

Ich habe mich schon sehr lange und ausführlich in unterschiedlichen Büchern mit der Thematik befasst (auch Vorlesungen und Skripte) aber in der Anwendung harperts.

Der Realteil ist die x Koordinate eines Punktes P(z) in der komplexen Ebene, der Imaginärteil ist die y-Koordinate.

Stimmt denn zumindest die Auflösung nach dem 3.Binom schon?

lg

PS: Danke schonmal für die Hilfe und die guten Zwischenfragen - so bleibt alles direkt auch hängen!
 
 
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BOL!
unregistriert Gott

Zitat:
Original von BOL!
Was i bedeutet weiß ich schon, und i^3 ist -i. Freude

Damit habe ich auch in genanntem Term gerechnet.

Aber bei mir gibt sin(t) = 0 unglücklich

... hängen! Augenzwinkern


1) t ist ein Parameter, der alle reellen Zahlen durchläuft ; vergiss also, dass sin(t) = 0 sei..

2) das Binom hast du nicht ganz richtig .. vergleiche:




also:



und nun kannst du also zeigen, dass du Realteil und Imaginärteil von (e^it)^3
richtig hier aufschreiben kannst:
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Ich registriere mich auf jeden Fall noch!

zu 2) "Nicht ganz" ist ja noch sehr nett - das war grottig! Habe aber meine Fehler nun verstanden.


Die beiden Bestandteile von z:

Re(z) =cost³-3cost × sint²

Im(z)= 3 cos(t)² x sin (t) – sin(t)³


Okay, jetzt versuche ich das ganze noch für e^it3!

PS: Wo findet man hier den Formeleditor? Ich würde ihn dann auch benutzen^^
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RE: Re
Zitat:
Original von BOL!


Die beiden Bestandteile von z:

Re(z) =cost³-3cost × sint² ... <- die Exponenten nicht beim t , sondern zB so : sin² (t) usw..

Im(z)= 3 cos(t)² x sin (t) – sin(t)³

PS: Wo findet man hier den Formeleditor? ..<- oben, rechter Rand: bei "Werkzeuge"


ok?
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »
Verbesserung
Jepp okay, sollte sich auch auf das sin / cos beziehen.

und nun die Re / Im (z) bei e^it3 :

e^it3= cos³(t) + i³*sin³t = cos³t-i sin³t

Re(z) = cos³t
Im(z) = -i sin³t

Daher nicht das gleiche ?! Lehrer
Die ganzen Erklärungen von dir haben mir sehr viel geholfen, dafür schon mal vielen Dank!

Ich habe noch so eine Frage, bei welcher ich nicht verstehe was man tun soll.
Sei f: C->C, f(z)= z1 ( z - z0) +z0 die Drehung von C (Komplexe Zahlen), die den Punkt 0 auf 1 + i abbildet und 2i auf i-1. Bestimme z0 und z1, indem die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden und gib f an. WOhin werden die Punkte 2 und 1-i abgebildet?

a. Wenn ich den Punkt 0 in f(0 ) einsetze, wo finde ich dann 1 + i ?
Damit fängt es schon an...

(latex klappt doch nicht)
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RE: Verbesserung
Zitat:
Original von BOL!


und nun die Re / Im (z) bei e^it3 :

e^it3= cos³(t) + i³*sin³t = cos³t-i sin³t..NEIN geschockt

Re(z) = cos³t
Im(z) = -i sin³t ..<- beim Imaginärteil hat das i nichts zu suchen


(latex klappt doch nicht) warum?


irgendwie ist das ja traurig traurig

ganz zu Beginn hast du doch schon richtig stehen:

e^it3= cos(3t)+ sin(3t) i
also:
Re(e^it3) = cos(3t)
Im(e^it3)= sin(3t)

als Ergebnis der Bemühungen solltest do also dies erhalten (Vergleich Re und Im - Teile:





Prost
BOL! Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt verstehe ich gar nichts mehr traurig traurig traurig

Nachdem ich jetzt den Schock überwunden habe, analysiere ich weiter wo es klemmt.
- 3t gibt an, was später im Cosinus / Sinus steht und ist die Bogenlänge

Okay, jetzt ich hab den Faden nun wiedergefunden...

So nun setzt du den einen Re(z) mit dem anderen Re(z) gleich , aber wie kommst du dann auf 4* cos³(t)- 3cos(t)?

Ebenso beim Imaginärteil das 3-Ergebnis...
?

Prost <- der rechte bin wohl ich Big Laugh
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