Beweis von A^-1 = (1/detA) (d -b -c a) Matrix

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OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von A^-1 = (1/detA) (d -b -c a) Matrix
Meine Frage:
Es sei A=(a b
_________ c d) Element von M2(R)
mit detA ungleich 0

Jetzt soll man zeigen, dass
A^-1 = (1/detA) (d -b
_____________ -c a)



Meine Ideen:
Als erstes habe ich überlegt, was ich daraus schließen kann:
Aus detA ungleich O folgt, dass A invertierbar ist.
Außerdem gilt die Formel A^-1 = (1/detA) adjA

Aber wie kann ich jetzt beweisen, dass adjA=(d -b
_____________________________________ -c a) ist?
Reicht das schon aus, oder was muss ich noch beachten?


Vielen Dank schon mal...
Jayronic Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hattet ihr denn die Aussage in der Vorlesung? Wenn ja wäre die Aufgabe relativ simpel.. Wie ist denn definiert? Doch über die Einträge
Bei deinem 2x2 Beispiel wäre das ja recht simpel, da die determinante einer 1x1 Matrix trivialerweise der Eintrag selbst ist.

Also wenn ihr das Adjunkt eingeführt habt und die von dir erwähnte Aussage nutzen dürft, solltest du damit eigentlich in 3Minuten fertig sein, ansonsten wäre dieser Satz (Cramer'sche Regel wenn ich mich recht erinnere) selbst zu zeigen. Was dann weniger trivial wäre Augenzwinkern .

lg

€dit:
Die Cramer'sche Regel ist der Ausgangspunkt für diesen Satz. Solltet ihr die Regel gemacht haben, den Satz zur Inversenberechnung aber nicht, ist das für dich definitiv auch beweisbar, man muss nur die richtigen Vektoren auswählen, um ein paar Gleichungssysteme zu lösen smile .
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank
Wir hatten das mit der Adjunkten noch nicht - aber die Cramer'sche Regel schon.
Ich werde es probieren (:
Aber wie komme ich auf die Vektoren für die Gleichungssystheme?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Aussage nur für den Fall zu zeigen ist, was spricht dann dagegen, einfach nachzurechnen, dass die Inverse ist?
Jayronic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OrangeneMusik
vielen Dank
Wir hatten das mit der Adjunkten noch nicht - aber die Cramer'sche Regel schon.
Ich werde es probieren (:
Aber wie komme ich auf die Vektoren für die Gleichungssystheme?


Welche Vektoren hast du denn immer so im welche möglichst einfach sind?

Zitat:
Original von jester.

Wenn die Aussage nur für den Fall zu zeigen ist, was spricht dann dagegen, einfach nachzurechnen, dass die Inverse ist?


Da hast du natürlich Recht, auf die Idee bin ich nicht gekommen - viel zu einfach Big Laugh . Nein das wäre natürlich (abhängig von der genauen Aufgabenstellung) die einfachere Alternative ^^!
Auch wenn der Lerneffekt beim Beweis des obigen Satzes größer wäre Lehrer .

lg
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen: Ich bin noch Schülerin (9. Klasse) und habe das nur in einem Buch irgendwo gelesen, und finde die Lösung (also den Beweis) nicht mehr...
Danke...
 
 
noname99 Auf diesen Beitrag antworten »

Was muss man denn jetzt genau machen??
Jayronic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Behauptung wirklich nur ist, dass für gilt, dass gilt,
dann reicht es in der Tat zu zeigen, dass gilt. => Nachrechnen...

Sollte die Aufgabenstellung etwas mehr fordern (zB auch Dimensionen>2), einfach nochmal melden, da lässt sich das wie gesagt auch allgemein beweisen.
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »

wie ginge das denn im allgemeinen? (:
ist doch mal ganz interessant
Fritz123 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es genauso wie Jayromic gemacht. @OrangeneMusik Kannst du mir sagen in welchem Buch das steht. Die Aufgaben sind nähmich 1:1 auf dem aktuellen LA Übungsblatt von mir. Wäre interessant zu wissen.
Jayronic Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Lust es selbst zu versuchen? Augenzwinkern

Naja die Beweisidee ist sehr simpel: Für die inverse einer Matrix muss gelten, dass .

Schreibe also die Spalten von , dann muss eben gelten:
, wobei der j-te Einheitsvektor sein soll.

Nunja und wenn man die Cramer'sche Regel bewiesen hat, so wendet man diese an:
, wobei der i-te Eintrag von ist und eben in die i-te Spalte durch den j-ten Einheitsvektor ersetzt wurde.
(Keine Garantie auf die Indices, bin etwas fertig vom Tag - die Idee sollte klar sein, dass man die Einträge so ausrechnen kann)


Mit der Definition der adjunkten Matrix könnte das dann klappen, denke ich.

Also einfach mal rumprobieren und bei konkreten Fragen nochmal posten.

lg
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