Z/nZ-Körper und Charakteristik

20.11.2011, 11:21

arcussinus

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Z/nZ-Körper und Charakteristik

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

Kann mir jemand ganz idiotensicher erklären, warum Z/nZ nur dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.
Darüberhinaus möchte ich auch wissen, warum Z/pZ dann ein Körper ist.
Ich weiß, dass die Ringaxiome zutreffen, aber wie finde ich das multiplikative Inverse für jedes Element au Z/pZ.

In diesem Zusammenhang wäre ich auch euch dankbar, wenn ihr die Charakteristik erklären könntet.

Meine Ideen:
...ich habe schon in einigen Büchern und Skripts nach verständlichen Erklärungen gesucht, bin aber nicht fündig geworden. Im Gegenteil: bin verwirrter als vorher.

Danke im Voraus Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2011, 12:04

galoisseinbruder

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Das ist ein bisschen viel auf einmal, aber versuchen wir´s mal:
Ist n nicht prim, so gibt es Zahlen a,b mit ab=n. Damit gilt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : ab \equiv 0 \mod n \text{ für }0 \neq a,b \in \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Solcher Nullteiler gibt es in Körpern nicht.
Die Bestimmung der Inversen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ erfolgt über den erweiterten euklidischen Algorithmus. Damit zeigt sich auch dass jedes Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ ein multiplikatives Inverse hat.
Alternativ: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ein Körper, da $\begin{eqnarray*} p\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein maximales Ideal ist.

Zur Charakteristik eines Rings ist 0 falls $\begin{eqnarray*} n\cdot 1:=1 +\ldots +1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n. Ansonsten ist das kleinste n mit $\begin{eqnarray*} n\cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$ die Charakteristik des Rings.

20.11.2011, 12:12

arcussinus

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : ab \equiv 0 \mod n \text{ für }0 \neq a,b \in \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

ich verstehe diesen Ausdruck noch nicht ganz.
Sind jetzt a und b Repräsentanten einer Restklasse?

bedeutet es, dass ab eine Relation mit 0 eingeht, wenn ab und 0 durch n teilbar sind. also: ab-0=kn?

Was meinst du mit Nullteiler?

20.11.2011, 12:15

arcussinus

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Was ein Ideal ist, weiß ich. Aber was hat es mit dem maximalen Ideal auf sich?
Bzw. was beudeutet in diesem Zusammenhang pZ?...ich kenne nur die Schreibweise Z/pZ als die Menge aller Restklassen modulo p.

20.11.2011, 12:19

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} 0 \neq a,b \in \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
besagt a,b Elemente sind von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , diese Elemente kann man als Äquivalenzklassen und dementsprechend kann man a,b als Repräsentanten der Äquivalenzklasse auffassen (insbesondere da ich davor a,b als natürliche Zahlen aufgefasst habe.)

Zitat:

bedeutet es, dass ab eine Relation mit 0 eingeht, wenn ab und 0 durch n teilbar sind. also: ab-0=kn?

Die ersten zwei Halbsätze kann ich nicht ganz nachvollziehen, die Schlussfolgerung ist aber richtig. Das ist ja grade die Definition von $\begin{eqnarray*} \mod n \end{eqnarray*}$

Edit:Nullteiler
$\begin{eqnarray*} n\mathbb{Z}:= \{n\cdot k | k \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$
Falls maximales Ideal noch nicht bekannt ist, dann lassen wirs hier bei Seite

20.11.2011, 12:25

arcussinus

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Ich habe noch generell Svjwierigkeiten mit der Schreibweise:

Z/nZ

und

x=y mod n

Ich weiß, dass beides dasselbe aussagt.

Wir haben allerdings gelernt, dass "=" (müsste eig drei Striche haben) das Zeichen für eine Äquivalenzrelation ist.

Wie kann ich mir das besser vorstellen?

Z/nZ ist die Menge aller Restklassen, also: 0,1,2,3,...,n-1

mit x=y mod n tue ich mich schwer, da ich nicht recht weiß, wie ich anfangen soll diesen Ausdruck zu lesen.

Sorry, wir sind vom Thema abgerückt...aber mir ist es wichtig, dass ichd as fundamentale zweifellos verstehe. smile

smile

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20.11.2011, 12:31

galoisseinbruder

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Du bist nicht wirklich vom Thema abgerückt: Wenn Du nicht weißt was die Struktur ist, kannst Du auch nur schlecht verstehen was sie für Eigenschaften hat.

Zitat:

Z/nZ und x=y mod n

besagt nicht dassselbe Z/nZ ist die Menge aller Äquivqlenzklassen unter der Äquivalenzrelation x=y mod n definiert durch $\begin{eqnarray*} x\equiv y \mod n :\Leftrightarrow n| x-y \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{N} x-y=kn \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 12:46

arcussinus

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ok...also wenn ich das richtig verstanden habe, dann beudeutet das, wenn mans auseinandernimmt:

ÄK ist die Menge aller Paare x und y, die eine Relation ~ eingehen. (also: x~y)
Diese Relation R ist definiert durch $\begin{eqnarray*} n|x-y \end{eqnarray*}$ ...heißt: x geht eine Relation R mit y ein, wenn x und y durch n teilbar sind.

für x~y schreibt man dann auch in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x\equiv y mod n \end{eqnarray*}$ . Richtig?

20.11.2011, 12:55

arcussinus

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und Z/nZ beudeutet:

man hat beispielsweise die Menge {...,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,....,n}=Z

Man nimmt jetzt jedes Element dieser Menge und versucht es durch kn zu teilen, wobei k€N.
nehmen wir beispielsweise n=4.

Dann wäre:

4:4=1+Rest 0

8: (2*4)=1+ Rest 0

11: (2*4)=1+Rest 3

...usw.

Könnte man mit jedem Element Z aus machen.

Man schaut sich jetzt die Reste an und stellt fest, dass es 0 bis n-1 (in diesem Fall bis 3) Reste gibt.
Die Menge all dieser Reste nennt man Restklasse. Richtig?

20.11.2011, 12:56

galoisseinbruder

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Ja, kann man so sagen. Allerdings haben ich den terminus eine Relation eingehen noch nie gehört, eher a steht in Relation zu b.
Und die Relation ist eine auf den ganzen Zahlen.

20.11.2011, 13:05

arcussinus

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$\begin{eqnarray*} x\equiv y mod n \end{eqnarray*}$ ist also (x,y) € ~.

wenn das so ist, dann sammelt die Äquivalnzklasse A alle x und y, die diese Relation erfüllen, sprich alle durch n teilbaren Zahlen.

Woher kommen dann also die Restklassen?
A=Restklasse 0

Die Restklasse 1 (nennen wir sie mal B) ist doch gar nicht durch eine Raltaion definiert.
Verstehst du, was ich meine?

Die Relation $\begin{eqnarray*} x\equiv y mod n \end{eqnarray*}$ sammelst ja nicht die Paare, bei denen Rest 1 übrig bleibt.

Wo ist mein Denkfehler?

20.11.2011, 13:15

galoisseinbruder

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Dein denkfehler beginnt schon bei Relationen. Es gibt bei dieser Relation nur Zahlenpaare (x,y) die die Relation erfüllen. (Ich bevorzuge die Sprachweise:, die Elemente der Relation sind)
In Deinem Post Nr3 vor diesem stehts eigentlich richtig.

Den Post habe ich bisher überlesen, aufgrund deiner Angewohnhiet in kurzer Zeit Doppelposts zu erstellen. Die snd sehr leicht zu übersehen, wenn ich gerade eine Antwort erstelle. Erstelle also lieber einen längeren wohlüberlegten Post als zwei kurz nacheinander.

20.11.2011, 13:24

arcussinus

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ok...es tut mir leid. ich werde versuchen darauf zu achten. mich regt es nur selbst tierisch auf, dass ich das noch nicht verstehe. durch das ständige recherchieren und überlegen kann ich die definitionen fast auswendig, aber ich erkenne inhaltlich die zusammenhänge noch nicht. das ärgert mich eben. und deshalb kommen meine antworten immer so bröckchenweise. sorry!

...jedenfalls stellt sich mir die frage: wie die anderen Restklassen, also 1,2,3,4, usw. gebildet werden?

wie die restklasse 0 gebildet wird, habe ich ja vorher geschrieben.

wenn ich aber die gleiche relation ~ auf zwei zahlen h und j anwende, die nicht durch n teilbar sind, ist das zahlenpaar (h,j) nicht Element der Relation. Bedeutet, dass es auch nicht Element der Äuivalenzklasse A ist.
Logischerweise wären solche Zahlen in einer Äquivalenzklasse, die alle Zahlen sammelt, die nicht durch n teilbar sind.

Wie kommen also die anderen Restklassen zustande?

20.11.2011, 13:30

galoisseinbruder

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Die Restklasse 0 enthält alle Zahlen, die nach division mit n Rest 0 lassen (also durch n teilbar sind.)
Die Restklasse 1 enthält alle Zahlen, die nach division mit n Rest 1 lassen.
Die Restklasse 2 enthält alle Zahlen, die nach division mit n Rest 2 lassen .
usw...

Meiner Erfahrung nach versteht man eine Defintion am besten wenn man einige Beispiele betrachtet (aus dem Skript, Büchern, selbergemachte)

20.11.2011, 13:45

arcussinus

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mein problem besteht darin, dass dieses modulo-rechnen beim beweis Z/pZ ist ein Körper wieder auftaucht.
und zwar, wenn man zeigen will, dass jede von 0 verschiedene Restklasse ein multiplikatives Inverses hat.

Mit anderen Worten: Für A € Z/pZ ist 1 im Bild der Abbildung:
*A: Z/pZ -> Z/pZ
B ->A*B

dann haben wir folgendes gemacht:
Wir wollten zeigen, dass diese Abb. surjektiv ist. Hier reicht es aus zu zeigen, dass sie injektiv ist, da Indentitätsabbildung.

Annahme: Es gibt B,C € Z/pZ mit A*B=A*C.
Zu zeigen: =>B=C

seien a,b,c € Z Vertreter von A,B,C.

Wegen: $\begin{eqnarray*} A\neq 0_{K} \end{eqnarray*}$ gilt: p teilt nicht a.
Wegen A*B=A*C gilt: ab $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ac mod p => $\begin{eqnarray*} p| a(b-c) \end{eqnarray*}$ .
Weil p Primzahl ist und p nicht a teilt folgt $\begin{eqnarray*} p| (b-c) \end{eqnarray*}$ . Also b $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ c mod p.
Also B=C. Also ist die Abb. bijektiv.

Aber was sagt mir das?...Damit habe ich doch nicht beweisen, dass jedes A ein multiplikatives Inverses hat.

20.11.2011, 13:54

galoisseinbruder

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Zitat:

Hier reicht es aus zu zeigen, dass sie injektiv ist, da Indentitätsabbildung.

Ich hoffe, dass steht nicht so im Skript. Was soll denn " da Identitätsabbildung " genau heißen.

Wenn Du weist,dass für beliebiges A die Abbildung *A surjektiv ist, existiert also ein B mit B*A=1 (da 1 im Bild ist). Damit ist A invertierbar.

20.11.2011, 13:58

arcussinus

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ok...jetzt wird es ein wenig klarer.

es steht genau so im skript. Augenzwinkern

Augenzwinkern

identitätsabb. bedeutet ebi uns, dass eine menge auf sich selbst abgebildet wird.

20.11.2011, 14:06

galoisseinbruder

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O.K. dann verwendet der Dozent die Begriffe anders als ich (und meines Wissens auch alle anderen)
Die Abbildung *A ist ein Endomorphismus
Eine Identitätsabbildung ist für mich eher so was

Und man verwendet hiermehr als nehr Endomorophismus, sondern auch dass Z/pZ endlich ist. Wie man sich relativ leicht überlegt gilt für solche Abbildungen f:
f injektiv gdw f surjektiv

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