Untersuchen einer Funktion

08.01.2007, 18:39

valeska

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Untersuchen einer Funktion

Hallo,

ich soll für die folgende Funktion folgende Aufgaben erfüllen:
1. auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte untersuchen
2. das Verhalten für $\begin{eqnarray*} t-> \infty \end{eqnarray*}$ untersuchen
3. Nachweisen, dass f für t > 0 monoton abnimmt
4. durch Integration herleiten, dass $\begin{eqnarray*} F(t)= \frac{-1}{e^t +1} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von f ist

die Funktion lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{e^t}{(1+e^t)²} \end{eqnarray*}$

so da habe ich für die erste Ableitung folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f'(t)= \frac{e^t-2e^t}{(1+e^t)²} \end{eqnarray*}$

ist dies so richtig?

08.01.2007, 18:45

derkoch

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nein! 1. ableitung ist falsch!

08.01.2007, 18:46

cleverclogs

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RE: Untersuchen einer Funktion
nein!

EDIT: derkoch macht fastfood heite!!

Wie hast du den abgeleitet? Quotientenregel? Deine Schritte aufschreiben....

08.01.2007, 18:52

valeska

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$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{e^t (1+e^t)}{(1+e^t)³} \end{eqnarray*}$

so?????????

08.01.2007, 18:54

valeska

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ich habe da ein fehler entdeckt, ist die funktion oben jetzt richtig?

08.01.2007, 20:39

valeska

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$\begin{eqnarray*} f'(t)= \frac{e^t(1+e^t) -2e^2t}{(1+e^t)³} \end{eqnarray*}$

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08.01.2007, 21:32

derkoch

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Zitat:

Original von valeska
$\begin{eqnarray*} f'(t)= \frac{e^t(1+e^t) -2e^2t}{(1+e^t)³} \end{eqnarray*}$

ist richtig! ( nachdem ich dein zitat mir angeschaut habe!) smile

smile

lange exponenten setzt du in {} sonst verrutscht die hälfte davon , wie bei dir im beitrag!

$\begin{eqnarray*} f'(t)= \frac{e^t(1+e^t) -2e^{2t}}{(1+e^t)^3} \end{eqnarray*}$

08.01.2007, 23:08

valeska

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für die zweite Ableitung habe ich

$\begin{eqnarray*} f''(t)= \frac{e^t(1-4e^t+e^(2t)}{(1+e^t)^4}<br /> <br /> nun habe ich für die Nullstelle folgendes:<br /> <br /> f'(t)=0<br /> <br /> [latex]0=e^t(1+e^t)-2e^(2t) \end{eqnarray*}$

jetzt schätze ich mal, dass ich durch e teilen muss:

$\begin{eqnarray*} 0=1-2e^t \end{eqnarray*}$

und jetzt? ich brauche ja t. wie ging das noch mal verwirrt

verwirrt

08.01.2007, 23:20

derkoch

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Zitat:

Original von valeska
für die zweite Ableitung habe ich

$\begin{eqnarray*} f''(t)= \frac{e^t(1-4e^t)+e^{2t}}{(1+e^t)^4} \end{eqnarray*}$

Latex verbessert!

edit: ich sehe da ist ein kleiner Fehler! ( gehe von tippfehler aus!) smile

smile

richtig muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} f''(t)= \frac{e^t(1-4e^t)+e^{3t}}{(1+e^t)^4} \end{eqnarray*}$

08.01.2007, 23:44

Methakos

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du löst nun so auf, dass links neben dem = zeichen alle zahlen und rechts nur e hoch t steht.

dann nimmst du den LN...hmm..also du musst da was teilen Augenzwinkern

Augenzwinkern

will mal net zu viel verraten.

09.01.2007, 10:00

valeska

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hmm kapiere ich nicht verwirrt

verwirrt

09.01.2007, 10:06

valeska

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also,

ich muss jetzt f'(t)=0 setzen

dann habe ich ja

$\begin{eqnarray*} 0=e^t(1+e^t)-2e^(2t) \end{eqnarray*}$

durch auflösen:

$\begin{eqnarray*} 0=e^t+e^(2t)-2e^(2t) \end{eqnarray*}$

zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 0=e^t-e^(2t) \end{eqnarray*}$

ist das falsch???

09.01.2007, 10:09

valeska

Auf diesen Beitrag antworten »

komme mit dem latex nicht so richtig zu recht unglücklich

unglücklich

: müsste eigentlich so heißen!

[latex]0=e^t(1+e^t)-2e^{2t}[latex]

[latex]0=e^t+e^{2t}-2e^{2t}[latex]

[latex]0=e^t-e^{2t}[latex]

09.01.2007, 10:10

valeska

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boaahhhhh

böse

$\begin{eqnarray*} 0=e^t(1+e^t)-2e^{2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=e^t+e^{2t}-2e^{2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=e^t-e^{2t} \end{eqnarray*}$

09.01.2007, 10:21

Bjoern1982

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Hallo

Ja, das stimmt. Und nun $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite bringen und dann auf beiden Seiten logarithmieren.

Gruß Björn

09.01.2007, 10:30

valeska

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Forum Kloppe

irgendetwas mache ich wahrscheinlich falsch

also

$\begin{eqnarray*} e^{2t}=e^t \end{eqnarray*}$

logarithmieren:

2t=t

und jetzt? ich kann doch nicht durch t teilen

09.01.2007, 10:42

Bjoern1982

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Nicht teilen, nur das t durch -t auf die anderen Seite bringen und dann steht das schon die Lösung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

09.01.2007, 11:07

valeska

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t=0 ???

09.01.2007, 11:16

Bjoern1982

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Freude

09.01.2007, 13:29

valeska

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so jetzt habe ich für die Extrema:

f''(t)=0

also

$\begin{eqnarray*} 0=e^t-4e^{2t}+e^{3t} \end{eqnarray*}$

muss ich hier auch logarithmieren?

09.01.2007, 13:34

Bjoern1982

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Wenn du die zweite Ableitung gleich null setzt und das nach t auflöst führt das dazu, dass du die Wendestellen berechnest. In diesem Fall bietet es sich noch an e^t auszuklammern...

Um zu entscheiden ob an der Stelle t=0 jetzt ein Hoch oder Tiefpunkt vorliegt musst du f ''(0) bilden, also für alle t in der zweiten Ableitung null einsetzen und dann schauen ob das Ergebnis positiv oder negativ wird.
Wenn etwas positives rauskommt bedeutet das, dass an der Stelle t=0 ein Tiefpunkt vorliegt, wenn was negatives rauskommt liegt ein Hochpunkt vor (hinreichende Bedingung für Extrempunkte)

Gruß Björn

09.01.2007, 18:41

valeska

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da fällt mir auf ,dass ich die Nullstellen vergessen habe.

es ist ja:
$\begin{eqnarray*} e^t=0 \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich ja eigentlich logarithmieren. aber ln von null gibt es ja nicht????

09.01.2007, 18:42

Bjoern1982

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Eben....wieviele Nullstellen gibt es also Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

09.01.2007, 18:56

valeska

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Freude

gar keine, super danke!

09.01.2007, 19:00

Bjoern1982

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Richtig =)

Hast du den Rest auch hinbekommen?

09.01.2007, 19:01

valeska

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so jetzt noch mal zu den extremstellen!

ich habe ja t=0 als ergebnis. jetzt setze ich t=0 in f''(t) ein. da kommt -2 raus. das heist an der stelle befindet sich ein HP! jetzt muss ich doch -2 in f(t) einsetzen um die y - koordinate herauszubekommen oder?

09.01.2007, 19:05

Bjoern1982

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-2 kommt im Zähler von f '(t) heraus....im Nenner musst du aber auch noch t=0 einsetzen.

Und um an die y-Koordinate des Extrempunktes zu kommen musst auch die Extremstelle, also t=0 in f(t) einsetzen.

Gruß Björn

09.01.2007, 19:05

valeska

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dann bekomme ich folgendes raus:

HP: (-2/0,105)

09.01.2007, 19:07

Bjoern1982

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Wie gesagt:

Zitat:

-2 kommt im Zähler von f '(t) heraus....im Nenner musst du aber auch noch t=0 einsetzen.

Und um an die y-Koordinate des Extrempunktes zu kommen musst auch die Extremstelle, also t=0 in f(t) einsetzen.

Gruß Björn

09.01.2007, 19:07

valeska

Auf diesen Beitrag antworten »

upps, ja den nenner habe ich übersehen. ja dann kommt -1 raus

"Und um an die y-Koordinate des Extrempunktes zu kommen musst auch die Extremstelle, also t=0 in f(t) einsetzen" das verstehe ich nicht

09.01.2007, 19:11

Bjoern1982

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Nein, da kommt nicht -1 raus....

Der Nenner lautet doch $\begin{eqnarray*} (1+e^t)^4 \end{eqnarray*}$

Die Extremstelle des Extrempunktes ist nunmal die x-Koordinate dieses Extrempunktes. Wenn man jetzt herausfinden will welche y-Koordinate dieser Punkt hat setzt man immer die x-Koordinate in die Ausgangsfunktion ein.

09.01.2007, 19:24

valeska

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da kommt -0,125 raus.

f(0)= 0,25

heißt das, dass der Hochpunkt (-0,125/0,25) ist?

09.01.2007, 19:28

Bjoern1982

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Zitat:

da kommt -0,125 raus.

Richtig, das ist das Ergbenis von f ''(0)

Das hat aber NICHTS mit der x-Koordinate des Hochpunkts zu tun.
Die x-Koordinate lautet x=0 (hier t=0) ----> HP(0 / 0,25)

Du setzt ja t=0 in f(t) ein und nicht t= -0,125 Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2007, 19:36

valeska

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ok, jetzt der wendepunkt.

ich muss ja nullsetzen:

$\begin{eqnarray*} 0=e^t-4e^{2t}+e^{3t} \end{eqnarray*}$

wie muss ich das jetzt lösen? ich kann ja nicht einfach logarithmieren!

09.01.2007, 19:39

Bjoern1982

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Ich würde hier empfehlen $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ auszuklammern und dann bei dem Term in den Klammern $\begin{eqnarray*} e^t=u \end{eqnarray*}$ zu substituieren.

Gruß Björn

09.01.2007, 19:49

valeska

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ok,

dann habe ich folgendes:

0= u (1- 4u + u²)

dann ist:

u=0 v 1-4u+u²=0

u²-4u+1=0

pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} u1= 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} u1= 2-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

stimmts bis jetzt?

09.01.2007, 19:54

Bjoern1982

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Jawoll

Freude

09.01.2007, 20:04

valeska

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das heißt ich muss jetz für [latex]e^t[latex] einmal u1 und einmal u2 einsetzen???

09.01.2007, 20:04

valeska

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das heißt ich muss jetz für $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ einmal u1 und einmal u2 einsetzen???

09.01.2007, 20:11

valeska

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hmm jetzt komme ich nicht mehr weiter.
wenn ich die zahlen für e^t einsetze
bekomme ich

0=-0,068 und 0=0,319 raus. das kann doch nicht sein oder?

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