Automorphismengruppe

20.11.2011, 12:41

DerJoker

Automorphismengruppe

Guten Tag,

ich sitze gerade an der folgenden Aufgabe: Bestimmen Sie Aut(G) für $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ .

Nun es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{2} = \left\{ (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann muss für jeden Automorphismus schon mal gelten:
$\begin{eqnarray*} f((1,1)) = f((1,0))+f((0,1)), f((0,0)) = (0,0) \end{eqnarray*}$ . Da Fallen mir dann eigentlich nur zwei Möglichkeiten ein. Die Identität und $\begin{eqnarray*} f_{y,x}((x,y)) = (y,x) \end{eqnarray*}$ .
Also wäre meiner Auffassung nach $\begin{eqnarray*} Aut(G) = \left\{id, f_{y,x}\right\} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das soweit? Jetzt müsste ich noch zeigen,dass $\begin{eqnarray*} f_{y,x} \end{eqnarray*}$ ein bijektiver Homomorphismus ist und das es keine weiteren Elemente in Aut(G) geben kann. Nun wie zeige ich letzteres? verwirrt

20.11.2011, 13:09

jester.

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Es gibt in der Tat 6 Automorphismen für diese Gruppe. Um dies einzusehen untersuche die Automorphismen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2011, 18:31

DerJoker

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Hi,

tausend Dank für deinen Tipp. Ein Automorphismus ist dann von der Form $\begin{eqnarray*} f: \mathbb F_{2}\times \mathbb F_{2} \rightarrow \mathbb F_{2}\times \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ . Da jede lineare Abbildung von der Form $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ für eine eindeutig bestimmte Matrix ist (war gerad am überlegen... gilt dies eigenlich nur für endlich dimensionale Vektorräume?), gilt dies natürlich auch für alle Automorphismen. Nun hat der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}\times \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ die Dimension 2. Desweiteren muss der Rang von A aufgrund der Bijektivität ebenfalls gleich 2 sein. Dann hat die Matrix vollen Rang und ist somit invertierbar. Wenn ich nun alle invertierbaren 2x2 Matrizen bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ bestimme, so habe ich damit auch alle Automorphismen bestimmt.
Stimmt meine Argumentation soweit?

Nun gefunden habe ich die folgenden Matrizen:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Hoffe das stimmt soweit. Wie kann ich nun zeigen, dass es keine weiteren geben kann?

20.11.2011, 18:46

jester.

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Die Argumentation muss noch ein wenig weitergeführt werden: sicherlich ist jeder Vektorraumautomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ auch ein Gruppenautomorphismus der zugrundeliegenden additiven Gruppe. Du musst dir noch überlegen, warum das auch umgekehrt richtig ist. Das ist aber nicht schwer.

Dass es nicht mehr Vektorraumautomorphismen geben kann, ist klar. Es gibt einfache kombinatorische Argumente dafür, dass $\begin{eqnarray*} |\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)|=\prod_{i=0}^{n-1} (q^n - q^i) \end{eqnarray*}$ . Zähle etwa die möglichen Spalten der Matrizen ab.

Zitat:

(war gerad am überlegen... gilt dies eigenlich nur für endlich dimensionale Vektorräume?)

Im unendlichdimensionalen Fall hätte man im Prinzip eine unendlich große Matrix. Also gibt es das in dieser Form nicht.

20.11.2011, 19:11

DerJoker

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Dann bedanke ich mich hiermit bei dir Freude

. Wäre da wohl nie ohne deine Hilfe drauf gekommen.

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