Unterkörper in C

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Niyul Auf diesen Beitrag antworten »
Unterkörper in C
Hallo ihr Lieben,
Ich bräuchte eure Hilfe bei meiner LA1 übung:

[attach]22006[/attach]

Und zwar bei der b)
Ich muss ja zeigen, einzelnd für + und * dass es ein Körper ist, also:

1. Abgeschlossenheit
2. neutrales Element
3. inverses Element
4. Assoziativität
5. Kommutativität

Und dann ja noch dass es ein Unterkörper von C ist.

Nuja, die a) sollten wir eigentlich in unserer Übung gemacht haben, aber soweit sind wir nicht gekommen, sodass ich es nicht angelehnt daran machen kann.

Nur weiß ich soweit nicht, was ich machen kann/muss,...


Könnts ihr mir da ein wenig auf die Sprünge helfen?
Wäre ganz super lieb!

Vielen lieben Dank und die liebsten Grüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterkörper in C
Dass die Menge eine teilmenge von C ist ist wohl klar.

Also Körperaxiome nachprüfen.

Einiges ist auch gar nicht zu überprüfen, da es vererbt wird, die Addition ist ja wohl die Addition in C, ebenso die Multiplikation, also alles was da in C gilt gilt auch hier, das einzige was vielelicht interessant ist, ist die Existenz des (multiplikativ) Inversen.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterkörper in C
Zitat:
Original von Niyul
Ich muss ja zeigen, einzelnd für + und * dass es ein Körper ist [...]

Das kann man so nicht sagen, zu einem Körper gehört immer eine Menge mit zwei Rechenverknüpfungen und .

Du könntest natürlich alle von Dir genannten Eigenschaften durchrechnen, um je zu beweisen, dass ein Körper vorliegt. Aber gezeigt werden muss ja, dass es ein Unterkörper ist, d.h. ein Körper, der selbst schon Teilmenge eines größeren Körpers ist. Dazu genügt es, "reduzierte" Kriterien zu beweisen, nämlich, dass jeweils gilt:





Was fällt Dir denn mit diesem Hinweis zu a) ein?

Edit: Da war jemand schneller.
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank euch beiden.

Aber die Körperaxiome prüf ich doch nach damit das ich Punkt 1-5 nachprüfe, oder?

Ja bei der Abgeschlossenheit hätt ich jetzt:
bei + z.B.:


Weiß leider noch immer nicht so ganz was ich tun soll :-(
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du könntest auch die üblichen Körperaxiome überprüfen, aber Du machst Dir etwas unnötige Arbeit, wenn Du solche Sätze schreiben musst, wie "Assoziativität und Kommutativität der Addition übeträgt sich aus , analog für die Multiplikation", "Distributivität überträgt sich aus " und das alles ggf. durch eine Rechnung belegen musst etc., weshalb die von mir erwähnten Kriterien in dem Falle handlicher sind.

Mein Kriterium 2. oder alternativ Abgeschlossenheit gegenüber Addition und additiver Inversenbildung musst Du natürlich dennoch zeigen, das stimmt. Du hast allerdings die falschen typischen Elemente aus betrachtet. Das ist fest, und zwar die Wurzel einer positiven Zahl , sodass irrational ist. Z.B. kann man nehmen und erhält dann . Wie sehen im allgemeinen Fall also zwei Elemente aus aus und wie ihre Summe?
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich ja:



und bei der Multiplikation:



Oder nicht?
 
 
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

arg ich hab die i's gekonnt ignoriert fällt mir gerade auf,... also nochmal, mom.





Stimmt das jetzt?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Term stimmt nicht, gemeint war , nicht . Außerdem, warum multiplizierst Du und miteinander? Gemeint ist die Addition und zwar wie man sie gewöhnlich auf kennt. Ähnliche Fehler sind auch in Deinem Beitrag davor.
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hatte ich schon verbessert,..
man dieses doofe Latex,... grr

So:

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Warum genau liegt diese Summe nun in ?
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

So nun für Multiplikation müßte es so aussehen:


Oder?

Tja genau damit hast du mich erwischt, ich hätte jetzt gesagt dass sie in K liegen, da die einzelnen Elemente in K bzw. in R und ja ... eigentlich weiß ich es nicht, ich tu mich mit der Abgeschlossenheit sehr schwer :-/
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Rechnung stimmt auch.

Zum Beweis betrachten wir erstmal den Fall der Summe: Du hast doch sehr schön hingeschrieben .

Es gilt . Warum genau (mit mathematischen Termen) liegt nun die obige Summe auch in ?
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich versuche es dann einfach mal:

Also ich habe ja zwei Untergruppen von K definiert, also .
Dann ist die Verknüpfung mit + und * wieder in K, da die Element und somit in C, da

Hab nur keine ahnung ob das so stimmen kann,..
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Untergruppen sind Mengen, keine einzelnen Elemente. Außerdem ist deine Schlussweise nicht besonders klar aufgeschrieben.

Das Argument, auf das ich hinauswill, ist kein Hexenwerk. Augenzwinkern Es ist fast schon dümmlich, es in diesem Fall aufzuschreiben, aber man sollte es tun, eben um ein Gefühl dafür zu bekommen, was eigentlich los ist. Ich hab Dir doch oben schon einen Ansatz geliefert. Bitte schreib mal ganz konkret mit den richtigen Bezeichnungen auf, wie Du diesen weiterverfolgst.
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Um ganz ehrlich zu sein weiß ich nicht so recht worauf du hinaus willst.

ich habe ja:
, wobei

Und und
Nunja und das liegt dann wohl hoffentlich in K ,... wobei ich bei dem keine Ahnung wirklich hab,.. :-/
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niyul
ich habe ja:
. , wobei

Und (s_1 + s_2) \in \mathbb Q , da (s_1,s_2)\in \mathbb Q[/latex]

Genau darauf wollte ich hinaus, danke. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Niyul
und
Nunja und das liegt dann wohl hoffentlich in K ,... wobei ich bei dem keine Ahnung wirklich hab,.. :-/

Man hat fest gewählt am Anfang. Wichtig bei der Sache ist, der Körper besteht aus Elementen, die Du in der Form "rationale Zahl + rationale Zahl * i \sqrt{t}" schreiben kannst. Und genauso wie Du es eben gemacht hast, begründet man dann additive Abgeschlossenheit, ähnlich auch bzgl. Multiplikation.

Wie sieht es nun mit den Inversen aus?
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, ich danke dir so unendlich, dass du dir die Zeit für mich nimmst!

Also bezüglich der Inversen habe ich es folgendermaßen:

additiv Inverses Element:

Das wäre ja dann sozusagen minus, also:

Und das ist das Inverse, da

Und bei dem multiplikativ Inversen Element:


Naja das ist soweit ich gekommen war,...
Niyul Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, gib mich doch bitte noch nicht auf :-( Ich brauch dich doch noch Tränen
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