Quadratische Gleichung komplexe Zahlen

21.11.2011, 16:42

GuitarExot90

Quadratische Gleichung komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen!
Es geht darum, alle Lösungen der folgenden Gleichung zu finden:
$\begin{eqnarray*} z^{2} + \left(7 - i\right) z = 7i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
mein Ansatz ist folgender (wie bei jeder quadratischen Gleichung):
1) Ich ziehe die 7i nach links rüber: $\begin{eqnarray*} z^{2} + \left(7 - i\right) z - 7i = 0 \end{eqnarray*}$
2) Jetzt hab ich 2 Möglichkeiten: abc- oder pq-Formel. Wenn ich es mit der abc-Formel mache erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{- \left(7- i\right) \pm \sqrt{\left(7- i\right)^{2} - 4\cdot 1\cdot \left(- 7i\right) } }{2\cdot 1} \end{eqnarray*}$
weiter umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac{- 7 + i \pm \sqrt{ 49 + 14i+ i^{2} } }{2} \end{eqnarray*}$
am Ende erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{2i+\sqrt{14i} }{2}<br /> x_{2} = \frac{-14-\sqrt{14i} }{2} \end{eqnarray*}$
Das haut nicht ganz hin :/ ich glaube ich habe bei der Umformung unter der Wurzel einen Fehler gemacht, aber ich finde den Fehler nicht unglücklich

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Viele Grüße,
GuitarExot90

21.11.2011, 16:51

b0b0_c

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Ich hab nen Fehler gefunden, ob das dein Problem löst weiß ich nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+ \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 16:53

ollie3

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RE: Quadratische Gleichung komplexe Zahlen
hallo guitarexot,
habe den fehler gefunden, du hast wurzel (49+14i+i^2) falsch ausgerechnet,
da steckt übrigens eine binomische formel drin, so dass man das elegant ausrechnen kann.
gruss ollie3

21.11.2011, 17:08

GuitarExot90

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@ b0b0_c: Danke für den Hinweis!

@ ollie3: Also wenn ich nur die Wurzel betrachte habe ich:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(7-i\right)^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-7i\right) } \end{eqnarray*}$
nach der binomischen Formel erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{49 - 14i + i^{2} + 28i} \end{eqnarray*}$
Ist doch eigentlich richtig umgeformt oder?

Nach b0b0_c kann ich die Wurzel ja auch nicht "auseinanderziehen", sodass ich Wurzel und Quadrat einfach wegkürze :/

21.11.2011, 17:11

b0b0_c

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{49+14i+i^{2} } =\sqrt{(7+i)^{2} } \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 17:14

ollie3

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RE: Quadratische Gleichung komplexe Zahlen
hallo guitarexot,
es ist alles viel einfacher: erkennst du in 49 + 14i+ i^2 nicht die form
a^2+2ab+b^2 ?
gruss ollie3

21.11.2011, 17:14

GuitarExot90

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@ b0b0_c:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(7-i)^{2}} = \sqrt{49 - 14i + i^{2}} \end{eqnarray*}$ erhalte ich ja ebenfalls. Mit dem hinterem Teil der Klammer komme ich auf mein bereits erwähntes Ergebnis.

@ ollie3:
Doch denke schon. Es ist die binomische Formel. a=7 und b=-i. So somit erhalte ich das oben erwähnte unglücklich

21.11.2011, 17:20

b0b0_c

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{49-14i+i^{2}+28i} =\sqrt{49+14i+i^{2} } =\sqrt{(7+i)^{2} } \end{eqnarray*}$

Pass auf ich hab ne andere Formel als du drinnen stehn und dann ist deine Aufgabe leicht zu lösen. Ich benutzt die binomische Formel rückwärts!!

21.11.2011, 17:34

GuitarExot90

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@ b0b0_c:

JETZT hat's Klick gemacht! Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht Big Laugh

Ich rechne nur nochmal schnell nach smile

Trotzdem schon mal Danke an euch beide!

Also als Lösung habe ich:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = -7+i \end{eqnarray*}$
Bei der Probe von $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ kommt eine Ungleichung heraus. Ist sowas Möglich und fällt damit die 2. Lösung weg?

22.11.2011, 01:26

mYthos

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Zitat:

Original von GuitarExot90
...
Bei der Probe von $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ kommt eine Ungleichung heraus. Ist sowas Möglich und fällt damit die 2. Lösung weg?

Nein! Möglich ist es zwar, dass du so etwas herauskriegst, aber dann ist deine Lösung eben falsch Big Laugh

BEIDE Lösungen müssen selbstverständlich die Gleichung erfüllen!
Hinweis: Die 2. Lösung lautet x2 = -7 [ist schön mit Vieta zu sehen]

mY+

22.11.2011, 19:42

GuitarExot90

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Danke mYthos und den anderen! :-)
Langsam habe ich es verstanden ;-)
Und ich habe nochmal nachgerechnet: ja die Lösungen sind $\begin{eqnarray*} x_{1} = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = -7 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße,
GuitarExot90

22.11.2011, 22:17

b0b0_c

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Sehr gut! Ist dann alles geklärt?
Falls nicht, einfach weiter fragen! Dafür sind wir ja da :P

23.11.2011, 15:59

GuitarExot90

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Im Grunde sollte alles zu diesem Thema klar sein! :-) Ich glaube ich habe einfach die umgekehrte binomische Formel nicht erkannt und das hat mich aus der Bahn geworfen. Egal ob reell oder komplex: Die Anwendung bleibt die Selbe :-)

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