lineare abbildungen

21.11.2011, 18:28

TuMausi

lineare abbildungen

Meine Frage:
hallo liebe community

habe da eine Aufgabe bekommen, wo ich mir nicht 100% sicher bin, ob ich das so richtig mache

und zwar lautet meine Aufgabe:
Uberprufen Sie, bei welchen der folgenden Abbildungen es sich um lineare Abbildungen von K-Vektorraumen
handelt:

f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ -> \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}(x-y)\\ 1/\sqrt{2}(x+y) \\ x \end{pmatrix} , K =\mathbb R \end{eqnarray*}$

Begrunden Sie jeweils Ihre Antwort. Bestimmen Sie fur diejenigen Abbildungen, die linear sind, jeweils die Dimension
des Kerns und des Bilds.

habe jetzt nicht alle formeln reingeschrieben werde die dann an hand dieses beispiels selbst lösen

Meine Ideen:
also ich muss erstmal beweisen das diese abbildung linear ist haben 2 kriterien die ich anwenden werde:

1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}(x_1-y_1)\\ 1/\sqrt{2}(x_1+y_1) \\ x_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}(x2-y2)\\ 1/\sqrt{2}(x_2+y_2) \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe dann gesagt ok nehme einfach 2 vekotren aus dem Raum

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 6/\sqrt{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich gesagt

$\begin{eqnarray*} f ((\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix})) = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 6/\sqrt{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ist das erste erstmal erfüllt
das selbe für multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}= \lambda \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}(x-y) \\1/\sqrt{2}(x+y) \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1*1/\sqrt{2}(x-y) \\\lambda_2*1/\sqrt{2}(x+y) \\ \lambda_3*x \end{pmatrix}= f (\lambda \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f ist also erstmal eine lineare abbildung

dim $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ = 3 \end{eqnarray*}$ ???

jetzt kommt der part wo ich eure hilfe brauche, könnt ihr mir bitte sagen, ob ich das so hinschreiben darf, ob ich das so richtig mache:

$\begin{eqnarray*} f_1\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}= a , \mathbb R³= f_1\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}*a\\ 1/\sqrt{2}*a\\ a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei a element aus R³ ist

Bild $\begin{eqnarray*} (f_1)=\mathbb R \end{eqnarray*}$
dim Bild $\begin{eqnarray*} (f_1) \end{eqnarray*}$ = 1

Basis wäre dann einfach irgendeine reelle Zahl also z.b 1

dann ist dim Kern= 2 weil ja dim bild= 1 war und dim R³=3 war

und frage mich wie ich jetzt eine Basis angeben darf

muss ja die form x-a haben also 2 dimensional

23.11.2011, 23:12

MatheMathosi

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Also für die Linearität musst du zeigen (was du ja schon gesagt hast)

$\begin{eqnarray*} 1. f(\lambda x)=\lambda f(x) \\ 2.f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$

die 1. Bedingung hast du optimal bewiesen, bei der zweiten hast du ja einfach 2 Vektoren eingesetzt und deren Funktionswert berechnet verwirrt

kann ich nicht ganz nachvollziehen.Das musst du ja auch für allgemeine Vektoren zeigen nicht für 2 Stück !

Der Kern sind alle x für die gilt Ax=0, wobei A die lineare Abbildung ist/beschreibt.
Die Dimension ist dann die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren im Kern.

Die Dimension des Bildes ist die Anzahl der linear unabhängigen Spalten von A.

Bemerkung:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}(x-y) \\ 1/\sqrt{2}(x+y) \\ x \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.11.2011, 17:42

julijah

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Hi MatheMathosi,

hab schon festgestellt, dass im Kern alle Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind. Bin bisschen eingerostet, Abi is anderthalb Jahre her, aber mir sagt das, dass der Kern die Dimension 1 hat, weil alle im Kern ja irgendein Vielfaches von meinem grade eben geschriebenen Vektor sind. Oder? Denkfehler?

Btw, kann der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Dimensionen haben? Ja oder? Aber maxmimal 3? Denn wenn ich mir so einen dreidimensionalen Raum vorstelle, gibts dort ja maximal 3 lin. un. Vektoren...

24.11.2011, 17:53

Mulder

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Zitat:

Original von julijah
Btw, kann der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Dimensionen haben? Ja oder? Aber maxmimal 3? Denn wenn ich mir so einen dreidimensionalen Raum vorstelle, gibts dort ja maximal 3 lin. un. Vektoren...

Nein, es kann auch mehr als drei geben. Das hängt bei Vektorräumen immer sehr davon ab, über welchem Körper man sie betrachtet.

Die Dimension des R³ ist, wenn wir ihn als Q-Vektorraum betrachten, noch nicht einmal endlich. Denn du könntest dann unendlich viele linear unabhängige Vektoren angeben.

Als R-Vektorraum hingegen ergibt sich die Dimension 3.

Bei Vektorräumen kommt man nur in wenigen Fällen mit "Veranschaulichung" weiter. Das kann dich sogar hier und da ausbremsen. Da muss man das Ganze einfach theoretischer angehen.

24.11.2011, 22:01

MatheMathosi

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@julijah

Zu deiner ersten Frage noch.
Also ist vollkommen richtig was du gesagt hast. Freude

25.11.2011, 14:02

julijah.hensen

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okay, nice! Kern schonmal vollständig geblickt smile

dim(Kern)=1.
kommen wir zum Bild, bin mir nich sicher, wie ich das genau ausrechnen kann, ich habs jetzt einfach mal stur mit der Definition gemacht. Das kommt dann raus:
$\begin{eqnarray*} Bild(f)=\left\{ f(v) | v\in \mathbb R ^{3} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } (x-y) \\ \frac{1}{\sqrt{2} } (x+y) \\ x \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und jetzt muss ich, wenn ich stur weiter mache, da irgendwie einen Basisvektor des Bildes rausziehen, wenn ich meine Aufzeichnungen richtig verstehe... sähe aber dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \left\{x \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } (1-y) \\ \frac{1}{\sqrt{2} } (1+y) \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie kann man daraus die Dimension des Bildes erkennen? Der Vektor is so komplex, dass ich nich erkennen kann, ob es noch nen andren lin.un. gibt, der auch Vektoren im Bild entstehen lässt... aber aus dem Gefühl heraus würde ich sagen, dim(Bild)=1?
Oder hab ich falsch gerechnet / gedacht?

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