Schnitt zweier linearer Hüllen |
| 21.11.2011, 18:53 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Schnitt zweier linearer Hüllen wie bestimme ich den Schnitt zweier linearer Hüllen? Konkret geht es um die linearen Hüllen von {(3/0/3),(-6,1,-7)} und {(1,2,1),(0,2,5)}. Offensichtlich muss man die nun gleichsetzen, aber da erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, es ist also nicht eindeutig lösbar. Wie kann ich aber dann die Schnittmenge der beiden Hüllen bestimmen? |
||
| 21.11.2011, 19:04 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast recht, das ist nicht eindeutig lösbar. Und das ist ja auch gut so, sonst hätten wir ja nur den trivialen Schnitt, nämlich den Nullraum. Du hast drei Gleichungen, vier Variablen. Was stört dich genau? Das kannst du doch mit dem Gauß-Verfahren behandeln, oder? Welches LGS musst du lösen? Nutze am besten die Matrixschreibweise. |
||
| 21.11.2011, 19:20 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir haben bisher weder das Gauß-Verfahren noch die Matrixschreibweise behandelt. Ich kann also lediglich mit aus der Schule bekannten Lösungsverfahren (Addition/Einsetzung/Gleichsetzung) auf das folgende LGS losgehen: I. 3a-6b=c II. b=2c+2d III. 3a-7b=c+5d wobei a,b,c,d die Skalare sind. Und das erscheint mir relativ... mühsam. Bzw. ich bekomme auch nach mehreren Versuchen nichts Hilfreiches heraus. Klar, ich kann eine Variable durch andere darstellen (eine Darstellung für b und c ist ja direkt gegeben), aber wie komme ich damit auf den Schnitt? |
||
| 21.11.2011, 19:46 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Additionsverfahren ist quasi das Gaußverfahren. Addiere Vielfache von einer Zeile zur nächsten, um nacheinander Variablen zu eliminieren. Du möchtest eine Dreiecksform bekommen. Von deinem LGS sollst du auf eines kommen, das Dreiecksgestalt hat, unter der 3a oben sollen Nullen stehen, unter dem b in der zweiten Zeile auch. Schaffst du das? Addiere zunächst das (-1)-fache von Zeile 1 zur letzten, anschließend was passendes der zweiten Zeile zur letzten. |
||
| 21.11.2011, 19:56 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich erhalte folgendes: |
||
| 21.11.2011, 20:12 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Jetzt hast du, wie bereits erwähnt, eine Unbekannte zu viel, aus der Schule weißt du hoffentlich noch, dass du dann eine Unbekannte frei wählen darfst, wir wählen also beliebig. Löse jetzt von unten nach oben auf, was ist c? Das bekommst du aus Zeile 3. Das Ergebnis für c setzt du dann in Zeile 2 ein und erhälst b? Das dann alles in Zeile 1 und du hast a. Alle Variablen hängen dann von d ab. |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 21.11.2011, 20:34 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich erhalte a = -33,5d * 1/3 b = -5d c = -3,5d Habs durch Einsetzen überprüft... die Schnittmenge ist dann d*(-3,5/-5/1,5) mit d aus R. Die zugrunde liegende Aufgabe ist übrigens eigentlich noch, dass man eine Basis der Schnittmenge bestimmen soll, aber ich dachte mir, dass die Bestimmung des Schnitts wohl anspruchsvoller sein würde... damit lag ich richtig, denn die einfachste Basis dürfte wohl gerade der Vektor (-3,5/-5/1,5) sein, oder? |
||
| 21.11.2011, 21:49 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das ist nicht die Schnittmenge. Der Lösungsvektor, den du heraus hast, gibt die Koeffizienten an, die vor den einzelnen Vektoren der beiden Schnitte stehen. Das musst du dort jetzt einsetzen. Du hast ja a*(3/0/3) + b*(-6,1,-7) = c*(1,2,1) + d*(0,2,5) gesetzt, setze jetzt die errechneten Werte ein und du kannst (weil a,b und c nur von d abhängen) zusammenrechnen. |
||
| 21.11.2011, 22:03 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber das habe ich doch getan... ich habe die Werte für a und b eingesetzt und habe d*(-3,5/-5/1,5) herausbekommen. |
||
| 21.11.2011, 22:15 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, aber wie gesagt: Das ist nicht die Darstellung der Vektoren des Schnitts, sondern nur die Darstellung der Koeffizienten. Du musst sie noch mal in meiner Gleichung einsetzen. |
||
| 21.11.2011, 22:35 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Versteh ich grad nicht... ich hab ja jetzt folgendes getan, ich habe gesetzt. Das ergab diese Gleichungssystem, das ich mit deiner Hilfe lösen konnte und ich erhielt a = -33,5d * 1/3 b = -5d c = -3,5d Ich habe dann a und b eingesetzt, um die Beschreibung für die Punkte der Schnittmenge herauszufinden. Wenn ich in die obige Gleichung a,b,c,d einsetze, dann steht doch auf beiden Seiten dasselbe und es ergibt sich der Nullvektor, oder? 
|
||
| 22.11.2011, 16:54 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir meinen das gleiche. Haben aneinander vorbei geredet. Ich hab das gleiche heraus. War wohl gestern ein wenig müde. 
|
||
| 22.11.2011, 17:40 | Largo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sehr beruhigend! Dann danke vielmals für deine Hilfe! 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
