Operation - die Zweite... |
| 08.01.2007, 22:49 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Operation - die Zweite... Sei V ein Vektorraum. Bestimmen sie die Bahnen der Operation von Gl(V) auf V. Gl(V) ist die Menge der Automorphismen von V. also ich bin ziemlich unsicher, weil ich das Gefühl habe, die Aufgabe noch nicht ganz erfasst zu haben... Klar ist, dass als Menge V genommen wird und als Gruppe Gl(V). Weiterhin wird als Operationsvorschrift wahrscheinlich folgendes gelten: Ich soll jetzt also untersuchen welche Bahnen auftreten können, wenn ich ein festes v aus V nehme und dann die f durchlaufen lasse... eine Vermutung hab ich leider auch nicht... - kann mir das schwer vorstellen, was passiert wenn ich die Abbildungen durchlaufen lasse. freu mich über nen Tipp... |
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| 09.01.2007, 00:18 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » |
vllt überlegst du dir mal Bahnen für spezielle Vektoren, z.B. dem Nullvektor, oder Basisvektoren, o.ä. mfG 20 |
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| 09.01.2007, 07:03 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok - meine Vermutung ist jetzt, dass die Bahn eines Vektors v dem von ihm aufgespannten Untervektorraum ohne dem Nullvektor entspricht... aber das ist mehr so aus dem Gefühl... die Bahn des Nullvektors ist doch auch nur der Nullvektor, oder? |
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| 09.01.2007, 23:34 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » |
nullvektor stimmt. ich hätte jetzt eher vermutet, dass die bahn von jedem anderen vektor schon ganz V ist, bin da aber nicht ganz sicher... für den Beweisversuch hab ich leider grade keine Zeit. mfg 20 |
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| 10.01.2007, 15:56 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok - werd mal versuchen das nachzuvollziehen... auch wenn genau genommen die Bahn jedes anderen Vektors dann V\{0} wäre, denn Bahnen sind ja disjunkt. |
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| 11.01.2007, 00:27 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » |
jo, meinte ich ja... du musst automorphismen konstruieren, die basiselemente aufeinander abbilden, und solche, dass du aus einem element das ganze erzeugnis machen kannst... weiß aber nicht, ob das geht. mfG 20 |
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| 11.01.2007, 19:10 | jol2040 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also meine Vermutung ist auch auf jeden Fall dass man für alle v aus V\{0} ganz V in der Bahn Gl(V)v drin hat, also für endliche V ist das ja eigentlich klar, Basiswechselmatritzen sind ja vorhanden, und wenn man einmal aus etwa (0,...,0,1) (1,0,...,0) erzeugt hat kann man dann ja von links mit multiplizieren, und dann dürfte das eigentlich klar gehen. Die Frage ist dann ja wie die Basiswechsel-Automorphismen im unendlichen Fall aussehen (einfach Identität und 2 Basen vertauschen läuft ja nicht, weil dann die K-Linearität nicht erhalten bleibt) |
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| 11.01.2007, 22:08 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
zu dem Schluss bin ich jetzt auch gekommen, aber durch ne andere Überlegung... Es gibt nur eine Abbildung, die alle v gleich lässt. Bekanntlich nennt man sie die identische Abbildung. d.h. die Standgruppe des Vektorraums besteht nur aus der identischen Abbildung und im endlichen Fall kann man dann schließen, dass die Bahn eines Elements der ganze Raum außer 0 ist. Aber im unendlichen Fall weiß ich auch nicht weiter... |
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| 11.01.2007, 23:26 | jol2040 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo also das funktioniert dann so, dass man für v und w eine Basis nimmt, und dann den endlichen Fall im span von den vi und wi anwendet, darüber kommt man dann auch überallhin, ums mal so salopp zu formulieren. achja: und was ich im 1. Post über die K-Linearität gesagt hat, haut so natürlich nicht hin. |
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