Zufallsvariable, Erwartungswert

22.11.2011, 11:47

loyloep

Zufallsvariable, Erwartungswert

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega, \varepsilon, \mathbb P \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Zuvallsvariable.

Zeige:

a) $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb P(X \geq n) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb (2n-1) P(X \geq n) \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

22.11.2011, 16:11

Math1986

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RE: Zufallsvariable, Erwartungswert
Das müsste wohl $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ heißen, sonst könnte man da einfach Gegenbeispiele konstruieren. unglücklich

Falls dem so ist: Verwende die Summendarstellung des Erwartungswertes und schreib den rechten Term als Doppelsumme um.
Im Prinzip ist das nur eine geeignete Umsortierung der Summanden.

22.11.2011, 22:08

loyloep

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In der Tat heißt es $\begin{eqnarray*} X : \Omega \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Ich werde es mal mit der Summendarstellung probieren.

23.11.2011, 14:59

loyloep

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Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \sum_{n = 1}^{\infty} n P(X = n) \end{eqnarray*}$ ,

ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X^2) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 P(X = n) \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2011, 15:07

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \sum_{n = 1}^{\infty} n P(X = n) \end{eqnarray*}$ ,

ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X^2) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 P(X = n) \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2011, 15:18

loyloep

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Schön, dann habe ich die Beweise. Danke für Deinen Tipp.

23.11.2011, 18:19

Auli

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Hallo,
ich stehe vor denselben Aufgaben. Zu a) habe ich schon die Lösung gegeben, ich versteh sie aber nicht, was im Moment nicht raffe was diese Notation bedeutet $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\sum\limits_{j=1}^k 1)*(P(X=k)) = \sum\limits_{j=1}^\infty \sum\limits_{k=j}^\infty (P(X=k)) \end{eqnarray*}$
Wenn ich so die Indizes einsetze klappt das ja irgendwie, aber ich verstehe nicht woher es kommt, ich habe zwar eine Formel für Produkte von Summen gefunden, aber das hat mir das hier nicht wirklich erklärt. Kann vielleicht jemand nochmal was dazu sagen?

23.11.2011, 19:04

Math1986

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Diese Notation verstehe ich auch nicht, irgendwas kommt da mit den Indizes nicht hin.
Vergiss diese Formel

Schreib dir einfach mal das Produkt als Summe aus, schreib die einzelnen Summanden hin, und schau dir das "Muster" dahinter an. Wenn du das Prinzip mal verstanden hast dann ist es nicht schwer.
Damit kannst du dir die Formel selbst herleiten.

Ansonsten kann loyloep dieses Thema übernehmen, ich behalte es dann auch weiterhin im Auge Augenzwinkern

23.11.2011, 19:24

Auli

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Okay danke für deine Hilfe, ich versuchs mal so.
Das oben habe ich mir übrigens nicht ausgedacht, das steht so in unseren Musterlösungen, ich schreib dem Übungsleiter mal eine Mail.

24.11.2011, 15:40

loyloep

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Ich habe doch noch einen Fehler in meiner Lösung entdeckt.

Ist denn $\begin{eqnarray*} P(X \geq n) = \sum_{k = n}^{\infty} P(X = n) \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2011, 17:17

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Ist denn $\begin{eqnarray*} P(X \geq n) = \sum_{k = n}^{\infty} P(X = n) \end{eqnarray*}$ ?

Nein:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq n) = \sum_{k = n}^{\infty} P(X = k) \end{eqnarray*}$

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