Erzeugendensysteme

22.11.2011, 17:58	Largo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensysteme Gegeben sei die Menge A der reellen Folgen, die diese Bedingung erfüllen: Es gibt ein $\begin{eqnarray} k\in{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{k+2}=a_{k} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_{k+1}=a_{k} \end{eqnarray}$ . Erzeugt A den gesamten Raum der reellen Folgen? Meine Antwort darauf wäre Nein mit dem Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} (a_{n})=n \end{eqnarray}$ . Irgendwie kommt mir das aber fast schon zu einfach vor und erfahrungsgemäß ist das ein Zeichen dafür, dass ich es mir zu einfach mache... ist das Gegenbeispiel korrekt?
22.11.2011, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein "Gegenbeispiel" ist zu einfach. Es wird nicht behauptet, dass jede reelle Folge in A liegt. Es wird behauptet, dass jede reelle Folge eine Linearkombination von Folgen aus A ist.
22.11.2011, 18:44	Largo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... da hab ich wohl die Aufgabenstellung missverstanden. Dann würde ich sagen, dass A doch den Raum aller reellen Folgen erzeugt. Betrachtet man eine beliebige Folge $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ aus diesem Raum, kann man sie stets als Summe $\begin{eqnarray} (a_{1},a_{2},0,0,...)+(0,0,a_{3},a_{4},...) \end{eqnarray}$ darstellen und die beiden Summanden liegen in A, oder?
23.11.2011, 18:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist wunderbar konstruktiv. Man sieht sogar, dass die Folgen in A, die in zwei aufeinanderfolgenden Gliedern gleich sind, insbesondere gleich 0 sind, den Raum aller reellen Folgen erzeugen. Umso mehr ist A ein Erzeugendensystem.
23.11.2011, 20:06	Largo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr.

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