Teilbarkeit durch 27

22.11.2011, 18:49

Nadelspitze

Teilbarkeit durch 27

Beweisen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} 10^n+18n-28 \end{eqnarray*}$ ist durch 27 Teilbar.

Wollte das mit Induktion machen...

IA) n=1 10+18-28=0 0 ist durch 27 Teilbar
IV) $\begin{eqnarray*} 10^n+18n-28 \end{eqnarray*}$ ist durch 27 Teilbar.
IB) $\begin{eqnarray*} 10^{n+1}+18(n+1)-28 \end{eqnarray*}$ ist durch 27 Teilbar.

IS) $\begin{eqnarray*} 10^{n+1}+18(n+1)-28 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war zunächst $\begin{eqnarray*} 10^{n+1}+18(n+1)-28 \end{eqnarray*}$ als vielfaches von $\begin{eqnarray*} 10^n+18n-28 \end{eqnarray*}$ anzugeben... dann wäre
$\begin{eqnarray*} 10^{n+1}+18(n+1)-28=(10^n+18n-28)+18+10^{n+1}-10^n \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich jetzt aber am dümsten, dass $\begin{eqnarray*} 18+10^{n+1}-10^n=27*q \end{eqnarray*}$

22.11.2011, 18:56

galoisseinbruder

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Bei $\begin{eqnarray*} 10^{n+1}-10^n \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ ausklammern, dann sieht man direkt Teilbarkeit durch 9.

22.11.2011, 21:52

dreikommadrei

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$\begin{eqnarray*} 10^{n+1}+18(n+1)-28=(10^n+18n-28)+18+10^{n+1}-10^n\\=(10^n+18n-28)+18*10^n(10-1)=(10^n+18n-28)+18*10^n*9=(10^n+18n-28)+18+90^n\\=(10^n+18n-28)+9(2+10^n) \end{eqnarray*}$

Irgendwie... hänge ich aber immer noch. warum ist denn jetzt 27 ein teiler von $\begin{eqnarray*} (10^n+18n-28)+9(2+10^n) \end{eqnarray*}$ (nur von 9(2+10^n) ist 27 nämlich kein Teiler)

*ot*
oben ist ein recht alter account von mir, dessen passwort ich dachte vergessen zu haben... scheinbar war dieses aber noch an einem alten rechner eingespeichert. sorry. weiter mit diesen acc

22.11.2011, 21:57

galoisseinbruder

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Zitat:

Irgendwie... hänge ich aber immer noch. warum ist denn jetzt 27 ein teiler von $\begin{eqnarray*} 9(2+10^n) \end{eqnarray*}$

Es genügt ja dann zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 3|(2+10^n) \end{eqnarray*}$ . Das geht sehr schnell per Induktion oder über die Aussage: eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn es ihre Quersumme ist.

22.11.2011, 22:07

dreikommadrei

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Ok, ist klar. 10^n hat immer als Quersumme 1 und mit der 2 die Quersumme 3...

Wir wissen also das 9 und 3 Teiler von (2+10^n) sind... Aber 27 ist ja kein Teiler von (2+10^n).

(2+10^2)=102
102/27 ist aber keine ganze Zahl

Scheinbar übersehe ich hier einen wichtigen Satz bei den Teilerregeln.

22.11.2011, 22:10

galoisseinbruder

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Zitat:

Aber (2+10^n) ist ja kein Teiler von 27

Nein ist nicht, nichtmal 27 ist ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2+10^n \end{eqnarray*}$ .
Aber Du willst $\begin{eqnarray*} 27|9(2+10^n) \end{eqnarray*}$ zeigen ?
(Die Regel, die Du übersiehst ist a|b und c|d dann auch ac|bd)

22.11.2011, 22:17

dreikommadrei

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