Untervektorräume bestimmen

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22.11.2011, 19:01	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume bestimmen Meine Frage: Hallo, ich befasse mich seit einigen Tagen mit Vektorräumen und Vektorunterräumen. Nun weiß ich nicht ganz genau, wie ich meine Unterraumkriterien anwenden soll, wenn ich folgendes Beispiel habe: Sei V=R^2 und W Teilmenge von V $\begin{eqnarray} W =\left\{(x1,x2) \in \mathbb R ^2: x_{1}^2+ x_{2}^2 \leq 1\right\} \end{eqnarray}$ Die Unterraumkriterien sollen überprüft werden um festzustellen ob die Teilmenge UVR ist. Meine Ideen: Nun überprüfe ich U1: Existenz der Null: U ist nicht leer da $\begin{eqnarray} (0,0)\in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ jetzt habe ich Schwierigkeiten: U2:Abgeschlossenheit bzg. Addition: $\begin{eqnarray} (x_{1},x_{2}) \in \mathbb R ^2 und (y_{1},y_{2}) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Setzte ich jetzt folgendermaßen ein??: $\begin{eqnarray} (x_{1} +y_{1})^2+(x_{2}+y_{2})^2\leq 1 oder \leq 2 \end{eqnarray}$ (hier weiß ich nicht ob ich 1+1 einsetzen muss???) und weiter dann: $\begin{eqnarray} x_{1}^2 +y_{1}^2+2x_{1}y_{1}+x_{2}^2+y_{2}^2+2x_{2}y_{2}\leq 1 oder \leq 2 \end{eqnarray}$ stelle ich nun um: $\begin{eqnarray} (x_{1}^2 +x_{2}^2)+ (y_{1}^2+y_{2}^2)+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})\leq 1 oder \leq 2 \end{eqnarray}$ dann erhlate ich weiter, dass die erste und zweite Klammer $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$ nun weiß ich nicht was meine dritte Klammer ist??? $\begin{eqnarray} \leq 1 + \leq 1 + ???? = \leq ??? \end{eqnarray}$ Habe ich soweit oben richtig eingesetzt? oder muss das so aussehen: $\begin{eqnarray} (x_{1}^2 +y_{1}^2)+( x_{2}^2+ y_{2}^2)\leq 1 oder \leq 2 \end{eqnarray}$ Das sieht mir allerdings eher falsch aus?? deshalb mache ich hier erstmal nicht weiter! Vielen Dank für Eure Zeit und Mühe Kmac
22.11.2011, 19:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume bestimmen Du musst doch zeigen, dass $\begin{eqnarray} v:=x+y \in M \end{eqnarray}$ Was muss also für v gezeigt werden, falls der Vektor in der Menge liegt?
22.11.2011, 19:29	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume bestimmen Hallo und Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe gedacht, dass ich das doch mache: Denn bei U2 nehme ich zwei Vektoren aus W. Und zwar w1: $\begin{eqnarray} (x_{1} ,x_{2}) \end{eqnarray}$ und w2: $\begin{eqnarray} (y_{1} ,y_{2}) \end{eqnarray}$ . Und addiere dann beide um zu schauen ob die Summe dieser auch in W liegt. Oder sehe ich da etwas falsch??? Vielen Dank, kmac
22.11.2011, 19:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich hab auch nichts anderes geschrieben. Aber meine Frage hast Du damit nicht beantwortet: Welche Bedingung muss der "Summenvektor" erfüllen, um in M zu liegen?
22.11.2011, 20:01	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja, ich sehe gerade, dass du v definiert hast. v muss dann die Ungleichung $\begin{eqnarray} v_{1}^2+v_{2}^2\leq 1 \end{eqnarray}$ erfüllen. Das bedeutet dann, dass der 1. Ansatz richtig war. Allerdings bleibt dann immer $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray} (x_{1}^2 +x_{2}^2)+ (y_{1}^2+y_{2}^2)+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})\leq 1 \end{eqnarray}$ . Somit ist die erste UND die zweite Klammer jeweils $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$ . "Addiert man nun beide:" $\begin{eqnarray} \leq 1 + \leq 1 \end{eqnarray}$ , so ist die Summe bereits $\begin{eqnarray} \leq 2 \end{eqnarray}$ . (deshalb ist die dritte Klammer auch egal!richtig?) Das ist aber ein Widerspruch zur obigen Ungleichung. Und somit folgt, dass W bezügl. der Addition nicht abgeschlossen ist. Und somit W kein Vektorraum und somit kein UVR ist. Also, wenn das jetzt stimmt, dann stand ich glaube ich den ganzen Tag auf einem ganz dicken Schlauch. Stimmt das nicht, dann bin ich ganz schön verzweifelt! Auf jeden Fall, Danke Kmac
22.11.2011, 20:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so schnell. Nur weil Du es mit <2 abgeschätzt hast, heisst das doch nicht, dass es nicht auch <1 sein könnte. Du musst schon ein Gegenbeispiel bringen, sonst hast Du nichts gezeigt.
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22.11.2011, 20:30	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, 1. Bedeutet das, dass man OHNE Gegenbeispiel einen Beweis (wenn er nicht stimmt) nie führen kann!? wusste ich auch nicht! 2. Hier mein Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} v_{1}= (9/10,1/10); v_{2}= (8/10,2/10) \end{eqnarray}$ weiterhin füge ich in die Ungleichung ein:http://www.matheboard.de/addreply.php $\begin{eqnarray} (9/10+8/10)^2+ (1/10+2/10)^2 \leq 1 \end{eqnarray}$ das ergibt: 2,89 + 0,09 $\begin{eqnarray} \geq1 \end{eqnarray}$ Und somit ist das ein Widerspruch, denn es ist nicht $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$ Wäre das dann damit bewiesen? U3: Abgeschlossenheit bzg. Skalarmultiplikation muss ich dann ja nicht mehr zeigen!?
22.11.2011, 21:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Es kommt natürlich darauf an. Wenn Du zum Beispiel x<1 zeigen sollst und kannst zeigen, dass x>2 gilt, dann ist kein Gegenbeispiel mehr erforderlich. Wenn Du aber x<2 zeigst, hast Du damit nicht bewiesen, dass x<1 nicht für alle gilt. Um die Aussage zu widerlegen, musst Du zeigen, dass mindestens ein x>1 existiert und dafür bietet sich halt ein gegenbeispiel an. 2. Ist zwar etwas kompliziert gewählt, aber richtig. Ich hätte einfach x=(1,0) gewählt. x+x liegt nämlich nicht in M.
22.11.2011, 21:53	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Verstehe! ja, das stimmt, mein Gegenbeispiel war ziemlich kompliziert, da geht deins um einiges schneller und überschaubarere! Danke für deine Mühe und schnelle Antwort! hat mir sehr viel geholfen!

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