Archimedische Streifenmethode f(x)=x+1

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23.11.2011, 19:19	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Archimedische Streifenmethode f(x)=x+1 Meine Frage: Hallo, wir sollen mithilfe der archimedischen Streifenmethode den Flächeninhalt zwischen der Kurve f(x) = x+1 und der x-Achse berechnen, in einem Schritt hakt es. Meine Ideen: Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} U_{n} = \frac{1}{n} [(0+1)+(\frac{1}{n} + 1) + (\frac{2}{n} + 1) + ... + (\frac{n-1}{n} + 1)] \end{eqnarray}$ dann habe ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ausgeklammert und erhalte: $\begin{eqnarray} U_{n} = \frac{1}{n²} [0+1+2+...+n] \end{eqnarray}$ Die benötigte Summenformel ist soweit ich weiß: $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ also folgt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n²} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, wie ich das Umstellen soll um auf $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ zu kommen.
23.11.2011, 20:14	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Intervall ist euch denn angegeben worden? Und beim Ausklammern ist dir auch ein Fehler unterlaufen.
23.11.2011, 20:19	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Intervall ist I=[0;1].
23.11.2011, 20:26	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist der Fehler im Ausklammern? Hab mir irgendwie schon gedacht, dass da der Fehler liegt, aber mir ist nichts anderes eingefallen.
23.11.2011, 20:35	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Du betrachtest die Funktion f(x)=x+1, nicht f(x)=x. Du hast beim Ausklammern schlichtweg die 1 vergessen, die in jedem Summenden enthalten ist. $\begin{eqnarray} \left(\frac1n+1\right)+\left(\frac2n+1\right)+ \ldots + \left(\frac nn+1\right) = \frac{n+1}2+n = \frac{3n+1}2 \end{eqnarray}$
23.11.2011, 20:38	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie komme ich da auf .. + n, und danach auf die 3n im Zähler? Könntest du mir vielleicht nochmal die Zwischenschritte aufschreiben? Ich hab sonst echt null Probleme in Mathe, aber das bereitet mir irgendwie Verständnisschwierigkeiten.
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23.11.2011, 20:47	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber natürlich ... $\begin{eqnarray} \left(\frac1n+1\right)+\left(\frac2n+1\right)+ \ldots + \left(\frac nn+1\right) = \left(\frac1n+\frac2n+\ldots\frac nn\right)+\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n\textrm{-mal}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac1n(1+2+\ldots+n)+n=\frac1n\,\frac{n(n+1)}2+n = \frac{n+1}2+n = \frac{n+1+2n}2 = \frac{3n+1}2 \end{eqnarray}$
23.11.2011, 20:49	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, du hast mir echt geholfen !
23.11.2011, 20:50	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer wieder gerne :-)
23.11.2011, 21:07	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl: In deinem einen Schritt ist 1/n weg. Dann fehlt das n vor der Klammer und plötzlich ist es da, was hast du da gemacht ?
23.11.2011, 21:14	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich gekürzt.
23.11.2011, 21:19	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum ist sie auf einmal wieder da? Müsste sie dann nicht im Nenner auch auftreten ?
23.11.2011, 21:21	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei welchem Term steckst du denn fest?
23.11.2011, 21:25	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =\frac1n(1+2+\ldots+n)+n=\frac1n\,\frac{n(n+1)}2+n = \frac{n+1}2+n = \frac{n+1+2n}2 = \frac{3n+1}2 \end{eqnarray}$ Beim 3. hast du 1/n und n gekürzt, richtig ? Beim 4. ist das n wieder da, die 1/n fehlt aber und plötzlich addierst du das n und multiplizierst es nicht mehr, da sonst doch punkt vor strich gelten würde und es 2n² wären. Alsow arum ist es im vierten Schritt wieder da ?
23.11.2011, 21:33	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Es taucht nicht wieder auf. Es ist das n, welches in der Klammer war. Das n vor der klammer, also der Faktor n, taucht nach wie vor nicht mehr auf, da es gegen das 1/n gekürzt worden ist.
23.11.2011, 21:38	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber bei dir steht: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2} + n \end{eqnarray}$ im nächsten Schritt: $\begin{eqnarray} \frac{n+1+2n}{2} + n \end{eqnarray}$ Wo nimmst du da das n her, wenn du das davor in der Klammer also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ gekürzt hast ? Weil das ist ja ein Faktor, kein Summand. Sorry, wenn ich mich gerade bisschen blöd anstelle.
23.11.2011, 21:45	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da steht $\begin{eqnarray} \frac{n+1+2n}{2} \end{eqnarray}$ .
23.11.2011, 21:47	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo kommt der erste Summand also das "n" her? Ich dachte, dass hast du vorher gekürzt ?
23.11.2011, 21:55	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Summen und Differenzen kann man nicht kürzen. Also noch einmal $\begin{eqnarray} \frac1n\,\frac{n(n+1)}2+n=\frac{(n+1)}2+n \end{eqnarray}$ Jetzt das n auf den Bruch bringen $\begin{eqnarray} =\frac{n+1+2n}2=\frac{3n+1}2 \end{eqnarray}$
23.11.2011, 22:02	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum wird aus einem n ein 2n ? Wenn das andere da immernoch steht.
23.11.2011, 22:09	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
weil das n mit zwei erweitert werden muss, damit du es zu dem Bruch addieren kannst. Der Term wurde nur vereinfacht.
23.11.2011, 22:12	Keshi	Auf diesen Beitrag antworten »
ach gott, sag das doch gleich :'DDD das war jetz etwas zu billig ! danke
16.08.2012, 17:43	Julian12345	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\frac1n+1\right)+\left(\frac2n+1\right)+ \ldots + \left(\frac nn+1\right) = \left(\frac1n+\frac2n+\ldots\frac nn\right)+\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n\textrm{-mal}} \end{eqnarray}$ fehlt da nicht das 1/n was sonst immer direkt davor steht? weil bei dir ist das da gar nicht und du beachtest es auch gar nicht weil du klammerst ja 1/n aus und dann würde da wenn da das 1/n stehen würde was da eigentlich doch steht 1/n² rauskommen oder? das kann ich rgad nicht nachvollziehen bzw ich kann das ausklammern und das davor nicht nachvollziehen verstehe das nicht klingt dumm ist aber so

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