HILFE bei Aufgaben fürs abi

09.01.2007, 15:51

cloe

HILFE bei Aufgaben fürs abi

hey ihr....

ich schreibe am freitag mein mathe abi und bin daher noch ein paar arbeiten am rechnen...

nun hänge ich hier an zwei aufgaben fest und kann sie einfach nich lösen...
ich hoffe ihr könnt mir helfen unglücklich

Aufgabe 1

Auf einem Glücksrad ist ein Sektor schraffiert. Zeigt der Pfeil nach Stillstand des Rades auf den schraffierten Teil, so spricht man von einem Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} P = \frac{\alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ (0° < \alpha < 360°)

Folgende Spielregel wird vereinbart: Der Spiler dreht das Glücksrad zehnmal. Er gewinnt, wenn er dabei genau 2 Treffer erzielt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (in Abhängigkeit von p)?

Wie groß muss p gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn möglichst groß wird? Wie groß ist dann das Winkelmaß \alpha des zugehörigen Kreissektors?

Hinweis: Löse die Aufgabe mithilfe der Differenzialrechnung! Die Art des Extremums muss nicht überprüft werden.

2. Aufgabe:

Für Binomialverteilungen gilt die Rekursionsformel

Bn;p (k+1) = (n-k) / (k+1) * (p) / (1-p) * Bn;p (k)

Beweise die Rekursionsformel mithilfe der Formel von Bernoulli

09.01.2007, 18:49

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

zeig doch mal, was du dir schon überlegt hast! smile

09.01.2007, 19:10

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich ehrlich bin...finde ich bei der ertsne aufgabe gar keinen ansatz...mit irritiert das auch voll, dass man die differentialrechnung anwenden soll....

bei dem beweis würde ich halt zuerst einmal die ausgeschriebene form schreiben...also die binomialverteilung von bernoulli....habe mir auch mal überlegt ob man zuerst den quotienten aus der binomialverteilung mit k-1 durch k schreiben soll, um es dann durch multiplikation auf die andere seite zu bringen, weil da ja * Bn;p (k) steht

10.01.2007, 16:41

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir denn wirklich niemand helfen???
schreib am freitag unglücklich

....ich bin hier echt am verzweifeln

10.01.2007, 16:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Aufgabe:

Vergiss doch zunächst den Hinweis mit der Differentialrechnung! Es geht doch erstmal darum, die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit des Spielers mit Hilfe der Einzeltrefferwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Nennen wir diese Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit mal $\begin{eqnarray*} g(p) \end{eqnarray*}$ , um die funktionale Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu verdeutlichen. Und dieses $\begin{eqnarray*} g(p) \end{eqnarray*}$ solltest du schon ermitteln können, Stichwort auch hier "Binomialverteilung".

Erst wenn du das getan hast, geht es um die Maximierung von $\begin{eqnarray*} g(p) \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , mit den üblichen Mitteln die du in der Differenzialrechnung kennengelernt hast.

10.01.2007, 19:20

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

also n = 10

X- Anzahl der Treffer bei 10 mal drehen

X ist B 10; $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ - verteilt

also

P(X = 2) = $\begin{eqnarray*} (\frac{10}{2}) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°}^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

richtig so?

10.01.2007, 19:44

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cloe
also n = 10

X- Anzahl der Treffer bei 10 mal drehen

X ist B 10; $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ - verteilt

also

P(X = 2) = $\begin{eqnarray*} (\frac{10}{2}) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°}^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

richtig so?

wenn du mit $\begin{eqnarray*} (\frac{10}{2})={10\choose 2} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ist es richtig.

11.01.2007, 06:52

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, wusste nur nich wie man das anders darstellt Big Laugh

und was mach ich nun mit der differentialrechnung? klingt ja ganz nach ableiten, aber was muss ich denn ableitenund wieso mus ich überhaupt ableiten um auf die lösung zu kommen?

11.01.2007, 11:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cloe
P(X = 2) = $\begin{eqnarray*} (\frac{10}{2}) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°}^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

richtig so?

Und wenn du obendrein nicht mit Klammern sparst, dann haben wir:
P(X = 2) = $\begin{eqnarray*} {10 \choose 2} \cdot \left( \frac{\alpha}{360°} \right) ^{2} \cdot (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

Jetzt ersetze - wie in der Aufgabe angegeben das $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ durch p. Dann ist deine Wahrscheinlichkeit P(X = 2) eine Funktion von p und du kannst mit den üblichen Mitteln das Maximum bestimmen.

11.01.2007, 15:18

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok, das leuchtet mir ein......aber wie leite ich denn den ersten teil der formel

$\begin{eqnarray*} {10 \choose 2} \cdot \left( \frac{\alpha}{360°} \right) ^{2} \cdot (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

ableiten.....

den rest leite ich doch dann mit der produktintegration ab oder?

11.01.2007, 15:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cloe
den rest leite ich doch dann mit der produktintegration ab oder?

Also wenn, dann leitet man mit der Produktregel ab. Augenzwinkern

11.01.2007, 16:48

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich hab gedacht wenn man ein produkt ableitet, indem bei beiden eine variable vorkommt, muss man das mit der produktintegration machen....
das ist doch auch zum ableiten?

11.01.2007, 18:39

cloe

Auf diesen Beitrag antworten »

naja bringt ja jetzt auch nix, schreib ja schon morgen...
aber für den ersten schritt schon mal vielen dank smile

ich hoffe einfach ma das das nich kommt

11.01.2007, 20:21

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
ich vermute mal, dass dir die aufgabe nach der klausur nicht mehr so wichtig ist, aber so würde es gehen:

die funktion ist:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha)={10 \choose 2} \cdot \left( \frac{\alpha}{360°} \right) ^{2} \cdot (1- \frac{\alpha}{360°})^{8} \end{eqnarray*}$

jetzt formen wir es mal zu ner funktion nach p um:

$\begin{eqnarray*} g(p)=45\cdot p^2\cdot (1-p)^8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(p)=90 \cdot p\cdot (1 - p)^8 - 360\cdot p^2 \cdot (1 - p) ^7 \end{eqnarray*}$

gruss bil

Neue Frage »

Antworten »

HILFE bei Aufgaben fürs abi

Verwandte Themen